🐼
ToolPanda.appCalculateurs & Convertisseurs Intelligents

Calculateur de Vecteurs 2D & 3D (Produit Scalaire, Vectoriel & Mixte)

Effectuez tous les calculs vectoriels 2D et 3D étape par étape : addition, norme, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, angle et visualiseur 3D.

WhatsAppTelegram
Beispiele:
Vektor a
Vektor b

3D Isometrische Vektor-Visualisierung

3D/2D Visualizer Optionen:
x₁x₂x₃a (2, 1, 3)b (1, -2, 1)c (0, 3, 2)a + b (3, -1, 4)a × b (7, 1, -5)
Skalarprodukt (a · b)
3

Nicht orthogonal

Schnittwinkel (φ)
70.89°

1.2373 rad

Parallelogrammfläche (A)
8.6603 FE

Dreieck: 4.3302 FE

Längen |a| und |b|
|a| = 3.7417 | |b| = 2.4495

Abstand d(a,b) = 3.7417 LE

Kreuzprodukt (Vektorprodukt a × b)
a × b = (7, 1, -5)

Normalenvektor senkrecht auf a und b mit Länge |a × b| = 8.6603.

Spatprodukt [a, b, c] & Volumen
V_Spat = 7 VE | V_Pyramide = 1.1667 VE

Die Vektoren spannen einen echten 3D-Körper auf (linear unabhängig).

Vollständiger mathematischer Lösungsweg & Formeln

Vektor a=(2,1,3),Vektor b=(1,−2,1)\text{Vektor } a = (2, 1, 3), \quad \text{Vektor } b = (1, -2, 1)
Vektoraddition: a+b=(2+1,1+−2,3+1)=(3,−1,4)\text{Vektoraddition: } a + b = (2 + 1, 1 + -2, 3 + 1) = (3, -1, 4)
Vektorsubtraktion: a−b=(2−1,1−−2,3−1)=(1,3,2)\text{Vektorsubtraktion: } a - b = (2 - 1, 1 - -2, 3 - 1) = (1, 3, 2)
La¨nge ∣a∣=22+12+32=14≈3.7417\text{Länge } |a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417
La¨nge ∣b∣=12+−22+12=6≈2.4495\text{Länge } |b| = \sqrt{1^2 + -2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495
Skalarprodukt: a⋅b=(2⋅1)+(1⋅−2)+(3⋅1)=3\text{Skalarprodukt: } a \cdot b = (2 \cdot 1) + (1 \cdot -2) + (3 \cdot 1) = 3
Kreuzprodukt: a×b=((1⋅1)−(3⋅−2)(3⋅1)−(2⋅1)(2⋅−2)−(1⋅1))=(71−5)\text{Kreuzprodukt: } a \times b = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) - (3 \cdot -2) \\ (3 \cdot 1) - (2 \cdot 1) \\ (2 \cdot -2) - (1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}
Fla¨cheninhalt des Parallelogramms: A=∣a×b∣=72+12+−52=75≈8.6603\text{Flächeninhalt des Parallelogramms: } A = |a \times b| = \sqrt{7^2 + 1^2 + -5^2} = \sqrt{75} \approx 8.6603
Schnittwinkel: cos⁡(φ)=33.7417⋅2.4495  ⟹  φ≈70.89∘\text{Schnittwinkel: } \cos(\varphi) = \frac{3}{3.7417 \cdot 2.4495} \implies \varphi \approx 70.89^\circ
Dritter Vektor c=(0,3,2)\text{Dritter Vektor } c = (0, 3, 2)
Spatprodukt: [a,b,c]=(a×b)⋅c=(7⋅0)+(1⋅3)+(−5⋅2)=−7\text{Spatprodukt: } [a, b, c] = (a \times b) \cdot c = (7 \cdot 0) + (1 \cdot 3) + (-5 \cdot 2) = -7
Spatvolumen (Parallelepiped): VSpat=∣[a,b,c]∣=7\text{Spatvolumen (Parallelepiped): } V_{\text{Spat}} = |[a, b, c]| = 7
Pyramidenvolumen: VPyr=16∣[a,b,c]∣=76≈1.1667\text{Pyramidenvolumen: } V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{6} |[a, b, c]| = \frac{7}{6} \approx 1.1667
Komplanarita¨t: Das Spatprodukt ist −7≠0  ⟹  nicht in einer Ebene (linear unabha¨ngig)\text{Komplanarität: Das Spatprodukt ist } -7 \neq 0 \implies \text{nicht in einer Ebene (linear unabhängig)}

Origine Historique et Défi Résolu

Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?

📜
Epoche & Zeitalter19th Century (1843 – 1881)
Pioniere: William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside

1. Physical Forces in 3D Space Without Coordinate Clutter

Forces, velocities, and electromagnetic fields possess both magnitude and spatial direction. In the early 19th century, physicists had to write cumbersome scalar equations for each individual coordinate axis (x, y, z).

2. Vector Calculus, Dot & Cross Products

Gibbs and Heaviside extracted modern vector analysis from Hamilton's quaternions. Defining vectors with dot and cross products made 3D mechanical work, angles, and torque calculations extraordinarily streamlined.

3. Aerodynamics, Space Flight & Physics Game Engines

Aircraft flight dynamics, rocket trajectory simulation, and rigid-body collision physics in video games rely entirely on vector math.

„Vector analysis is the natural language of three-dimensional physics.“ — Josiah Willard Gibbs

Applications concrètes du calcul vectoriel

Les vecteurs constituent le langage universel de la physique, des moteurs graphiques 3D, de la robotique et de l'aéronautique.

Navigation aérienne & spatiale

Vecteurs de vitesse et de trajectoire

Les systèmes de navigation effectuent l'addition vectorielle du cap avion et de la vitesse du vent pour corriger la dérive.

Praxis-Beispiel:

Vitesse air (250, 50, 10) + Vent (-30, 10, 0) = Trajectoire sol (220, 60, 10) km/h.

Graphisme 3D & Jeux vidéo

Normales de surface & Éclairage réaliste

Le produit vectoriel permet d'obtenir le vecteur normal à une surface triangulaire pour les calculs de réflexion lumineuse (shading).

Praxis-Beispiel:

Les arêtes u et v d'un polygone forment la normale n = u × v pour le raytracing.

Génie civil & Statique

Décomposition des forces dans les structures

Calcul des forces de tension et compression dans les ponts et treillis par équilibre vectoriel.

Praxis-Beispiel:

La tension d'un câble est décomposée en composantes cartésiennes : F = F_x + F_y + F_z.

Guide mathématique sur les vecteurs

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. C'est l'outil fondamental de l'algèbre linéaire.

Addition vectorielle & Norme

L'addition s'effectue terme à terme. La norme euclidienne vaut |a| = √(a1² + a2² + a3²).

Produit scalaire & Orthogonalité

Le produit scalaire a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 vaut 0 si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel a × b génère un vecteur orthogonal à a et b dont la norme est l'aire du parallélogramme.

Produit mixte & Volume du parallélépipède

Le produit mixte [a, b, c] = (a × b) · c représente le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs.

Foire aux questions (FAQ) sur les vecteurs

Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?▼

Le produit scalaire donne un nombre réel (scalaire), alors que le produit vectoriel donne un nouveau vecteur dans l'espace 3D.

Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?▼

Lorsque l'un est multiple de l'autre ou que leur produit vectoriel est nul.

Comment calcule-t-on l'angle entre deux vecteurs ?▼

À l'aide de la formule cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|) avec la fonction arccos.

Que signifie la coplanarité ?▼

Trois vecteurs sont coplanaires s'ils appartiennent au même plan, ce qui équivaut à un produit mixte nul.