Calculateur d'Arbre de Probabilité & Tableau 2x2
Calculez des expériences aléatoires à plusieurs étapes, les probabilités de chemins, la formule des probabilités totales, le théorème de Bayes et tableaux 2x2.
Baumdiagramm (2-Stufig)
Stochastisch abhängigVierfeldertafel (Wahrscheinlichkeiten)Summe Zeilen & Spalten = Randwahrscheinlichkeiten
| Ereignis | Krank (K) | Gesund (G) | Σ (Gesamt) |
|---|---|---|---|
| Test Positiv (+) | 0.09509.50% | 0.04504.50% | 0.1400P(Test Positiv (+)) |
| Test Negativ (-) | 0.00500.50% | 0.855085.50% | 0.8600P(Test Negativ (-)) |
| Σ (Gesamt) | 0.1000P(Krank (K)) | 0.9000P(Gesund (G)) | 1.0000 (100%) |
📚Schritt-für-Schritt Rechenweg
Origine Historique et Défi Résolu
Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?
1. Unfinished Games of Chance & Diagnostic Fallacies
In 1654, Chevalier de Méré asked Pascal: how should the prize money be divided fairly if a dice game is interrupted prematurely? Furthermore, how does one assess diagnostic test accuracy when a disease is exceptionally rare?
2. Tree Diagram Path Rules & Bayes' Theorem
Fermat and Pascal developed multiplication and addition path rules. Thomas Bayes formulated Bayes' theorem for conditional probability, demonstrating how prior beliefs (prior) are updated by new evidence (posterior).
3. Spam Filters, Medical Diagnostics & Forensic DNA
Naive Bayes email spam filters, AI diagnostic assistants in radiology, and legal forensic evidence evaluation rely on Bayesian conditional probability.
Applications Réelles des Arbres de Probabilités et Bayes
Découvrez comment les arbres de probabilités facilitent les décisions en médecine, contrôle qualité et logistique.
Tests Médicaux & Paradoxe de Bayes
Calcul de la valeur prédictive positive lors de dépistages à faible prévalence.
Avec 98% de sensibilité et 1% de prévalence, un test positif ne correspond qu’à environ 16% de malades réels.
Arbres de Défaillance en Production
Analyse des lignes automatisées pour calculer le taux de rebut global.
Évaluation des pièces défectueuses cumulées sur plusieurs postes d’assemblage.
Modélisation des Risques de Livraison
Probabilités combinées de retards douaniers ou météorologiques.
Prévision de la ponctualité de livraison sur des chaînes logistiques mondiales.
Guide : Arbres de Probabilité, Règles des Chemins & Bayes
Un arbre pondéré structure pas à pas une succession d’événements aléatoires et permet de déduire simplement probabilités conjointes et marginales.
1ère Règle du Chemin (Multiplication)
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin : P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
2ème Règle du Chemin (Probabilité Totale)
La probabilité d’un événement final est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement : P(B) = P(A ∩ B) + P(non A ∩ B).
Théorème de Bayes
Permet d’inverser les conditionnements : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Indépendance Stochastique
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Foire Aux Questions sur les Arbres de Probabilités
Quelle est la différence entre tirage avec et sans remise ?▼
Avec remise, les probabilités restent identiques à chaque étape. Sans remise, le nombre d’éléments diminue, modifiant les probabilités conditionnelles.
Quand utiliser un tableau 2x2 plutôt qu’un arbre ?▼
Le tableau 2x2 est idéal pour comparer deux variables globales instantanément, tandis que l’arbre convient aux processus temporels séquentiels.
Pourquoi le théorème de Bayes est-il crucial pour les tests ?▼
Car lorsque la maladie est rare, les faux positifs sont souvent plus nombreux que les vrais positifs, abaissant la probabilité réelle d’être malade.
Que signifie l’indépendance en probabilités ?▼
Que la réalisation de l’événement A n’a aucun impact sur la probabilité de l’événement B : P(B|A) = P(B).
Wie hängen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (2x2-Tabelle) zusammen?▼
Ein zweistufiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel stellen dieselben stochastischen Zusammenhänge dar. Die Pfade des Baumdiagramms entsprechen den Schnittmengen P(A ∩ B) in den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel. Aus der Vierfeldertafel lassen sich die Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (Satz von Bayes) direkt ablesen und berechnen.