Calculateur de Loi Binomiale et Histogramme
Calculez les probabilités exactes et cumulées de la loi binomiale B(n; p) avec étapes détaillées. Comprend un histogramme SVG interactif et une courbe de Gauss.
⚙️Verteilungsparameter n und p festlegen
Passe Versuchszahl n und Trefferwahrscheinlichkeit p flexibel an.
📝Ausführlicher Rechenweg & Formelherleitung
Bei $n = 20$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,50$ ($q = 1 - p = 0,50$):
Die Formel für genau $k$ Treffer lautet $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$:
Da $\sigma = 2,24 \le 3$, ist die Verteilung zu schmal für eine stetige Glockenkurven-Approximation.
Origine Historique et Défi Résolu
Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?
1. Quality Control in Coin Minting & Gambler Runs
Royal mints needed to ensure minted gold coins met strict purity tolerances. Authorities had no mathematical model to calculate the probability of finding exactly k defective coins in a batch of 100 samples.
2. Bernoulli Trials & The Binomial Probability Formula
In "Ars Conjectandi", Bernoulli proved the formula P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) and established the Law of Large Numbers: observed frequencies converge to theoretical probabilities over large samples.
3. Industrial Quality Assurance, Polling & A/B Testing
Website A/B testing, semiconductor chip manufacturing yield metrics, and national election exit polls rely directly on the binomial distribution.
Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle
Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:
Taux de Pièces Défectueuses
Contrôle statistique des chaînes de fabrication industrielle.
Test de 100 composants avec 2% de défauts pour au plus 3 défaillances.
Enquêtes d'Opinion
Calcul des intervalles de confiance et marges d'erreur.
Échantillon représentatif de 1 000 électeurs.
Études Thérapeutiques
Évaluation de l'efficacité d'un vaccin ou traitement.
Probabilité d'au moins 80 guérisons sur 100 patients.
Principes Mathématiques : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
Une épreuve de Bernoulli ne comporte que deux issues : succès (p) et échec (1 - p). La répétition indépendante de n épreuves identiques constitue un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire X associée au nombre de succès suit la loi binomiale : P(X = k) = (n parmi k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Les grandeurs clés sont l'espérance mathématique μ = n · p, la variance Var(X) = n · p · (1-p) et l'écart-type σ = √(n · p · (1-p)).
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Loi Binomiale
Quand une variable suit-elle une loi binomiale ?
Lorsque les épreuves sont indépendantes, à deux issues possibles et de probabilité p constante.
Comment calculer au moins k succès P(X ≥ k) ?
Par l'événement contraire : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
Que sont les plages sigma ?
L'intervalle [μ - σ, μ + σ] regroupe environ 68,3% de la masse de probabilité.