Résolution d'Équations du Second Degré (Discriminant)
Résolvez les équations quadratiques étape par étape avec calcul du discriminant Delta, coordonnées du sommet et factorisation.
Remarque : Vous pouvez utiliser la virgule (,) ou le point (.) comme séparateur décimal.
Explication Mathématique
Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung zweiten Grades der allgemeinen Form:
Die Mitternachtsformel (abc-Formel):
Zur universellen Lösung dient die abc-Formel:
Der Term unter der Wurzel, D = b² - 4ac, wird als Diskriminante bezeichnet:
- D > 0: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen (zwei Nullstellen).
- D = 0: Es gibt genau eine reelle Lösung (eine doppelte Nullstelle / Berührpunkt).
- D < 0: Es gibt keine reellen Nullstellen (zwei konjugiert komplexe Lösungen).
Origine Historique et Défi Résolu
Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?
1. Land Surveying, Field Allocation & Inheritance
Builders and administrators in ancient Babylon and Egypt faced the practical challenge of dividing rectangular plots with fixed area and perimeter constraints. Additionally, 9th-century Islamic inheritance law required exact quadratic calculations to distribute complex estates among heirs.
2. Geometric Completing the Square
In 820 CE, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi authored "Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wal-muqabala" (the origin of the word algebra). He systematically solved quadratic equations by geometrically completing squares, which eventually evolved into the quadratic formula.
3. Ballistics, Architecture & Physics
Every projectile trajectory, satellite dish design (parabolic reflectors), and suspension bridge cable precisely follows quadratic equations.
Applications Concrètes & Cas Pratiques
Pourquoi apprend-on cela ? Voici comment ces mathématiques sont appliquées en économie, ingénierie, sciences et au quotidien :
Trajectoires Paraboliques & Tirs
Tout projectile lancé (ballon, obus, fusée) suit une trajectoire parabolique y = ax² + bx + c soumise à la pesanteur.
Le sommet S(d | e) donne la hauteur maximale du tir et la racine positive indique le point d'impact au sol.
Antennes Paraboliques & Ponts
Les paraboles concentrent les ondes reçues vers leur foyer. Les câbles principaux des ponts suspendus prennent une forme parabolique.
Les antennes orientent les signaux satellites vers la tête de réception LNB placée au foyer exact.
Prix Optimal & Chiffre d'Affaires
La recette est souvent une parabole : monter le prix fait baisser la demande. Le sommet donne le prix assurant le chiffre d'affaires maximal.
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Foire Aux Questions (FAQ)
Que signifie la valeur du discriminant Δ ?
Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes. Si Δ = 0, elle admet une solution réelle unique (racine double). Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle (deux solutions complexes).
Comment calcule-t-on le sommet de la parabole ?
L'abscisse du sommet est donnée par x = -b / (2a).