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Calculateur de Triangle – Loi des Sinus & Cosinus

Résolvez entièrement n’importe quel triangle à partir de 3 mesures (SSS, SAS, ASA, SSA). Calculez angles, côtés, hauteurs, aire de Héron, rayons des cercles inscrit et circonscrit.

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Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Origine Historique et Défi Résolu

Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?

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Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Applications Réelles de la Trigonométrie des Triangles

Découvrez comment les lois des sinus, des cosinus et la triangulation s’appliquent en topographie, navigation et ingénierie.

Topographie & Géodésie

Triangulation de Terrains

Mesure de sommets inaccessibles et de distances via des lignes de base et théodolites.

Praxis-Beispiel:

Calcul de la distance à un sommet montagneux avec la loi des sinus.

Navigation & Aéronautique

Dérive et Correction de Cap

Correction de trajectoire d’aéronefs subissant un vent traversier via des triangles vectoriels.

Praxis-Beispiel:

Calcul du cap corrigé et de la vitesse sol avec la loi des cosinus.

Architecture & Charpente

Structures Triangulées et Toitures

Calcul statique des forces dans les fermes de charpentes et ponts à treillis.

Praxis-Beispiel:

Dimensionnement précis des chevrons sur des toitures asymétriques.

Guide : Triangles Quelconques, Loi des Sinus & Cosinus

Les triangles quelconques ne possèdent pas d’angle droit. Les lois des sinus et des cosinus permettent de calculer facilement tous les éléments inconnus.

Loi des Sinus

Les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés : a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R.

Loi des Cosinus (Théorème d’Al-Kashi)

Généralisation du théorème de Pythagore : c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Aire Trigonométrique

Aire à partir de deux côtés et de l’angle formé : A = ½ · a · b · sin(γ).

Formule de Héron

Aire uniquement à partir des 3 côtés et du demi-périmètre s = (a+b+c)/2 : A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Foire Aux Questions sur le Triangle

Quand utiliser la loi des sinus ou des cosinus ?▼

Utilisez le cosinus (Al-Kashi) avec 3 côtés (SSS) ou 2 côtés et l’angle inclus (SAS). Utilisez la loi des sinus dès qu’un couple côté-angle opposé est connu (ASA, SSA).

Qu’est-ce que l’inégalité triangulaire ?▼

La somme des longueurs de deux côtés doit toujours être strictement supérieure à la longueur du troisième côté (a + b > c).

Quelle différence entre cercle inscrit et circonscrit ?▼

Le cercle circonscrit passe par les 3 sommets (médiatrices). Le cercle inscrit est tangent aux 3 côtés intérieurs (bissectrices).

Comment calculer les hauteurs d’un triangle quelconque ?▼

À partir de l’aire A : h_a = 2A / a, h_b = 2A / b et h_c = 2A / c.