Analyse & Trigonométrie

Calculateur de Fonctions Sinus et Cosinus

Étudiez les fonctions sinusoïdales générales f(x) = a·sin(b(x-c))+d, calculez amplitude, période, fréquence, zéros, extrema, utilisez le cercle trigonométrique interactif et résolvez des problèmes périodiques.

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Modèles prédéfinis (du lycée aux études supérieures) :

Paramètres de la fonction trigonométrique générale

Amplitude |a| (Streckung y): 1

Frequenzfaktor b (Periode p = 2π): 1

Periode:

Phasenverschiebung c: 0

Presets:

Ruhelage / Mittellinie d (y-Richtung): 0

Gleichungslöser f(x) = y₀:

2D-Funktionsplotter

2D-Funktionsgraph & Schwingungsverlauf

x-Achse:

Funktion:

f(x) = sin(x)

Hochpunkte (3)

Tiefpunkte (2)

Nullstellen (6)

Wendepunkte (6)

Amplitude |a|

Auslenkung um Ruhelage

Periode p

p = 2\pi

≈ 6.2832 rad • Wellenlänge

Ruhelage d

y = 0

Symmetrieachse / Mittellinie

Wertebereich 𝕎

[-1; 1]

Min / Max Werte

Funktionsgleichung

f(x) = sin(x)

Analysis (Ableitungen & Stammfunktion)

1. Ableitung f'(x) (Steigung / Geschwindigkeit):

f'(x) = \cos(x)

2. Ableitung f''(x) (Krümmung / Beschleunigung):

f''(x) = -\sin(x)

Stammfunktion F(x):

F(x) = -\cos(x) + C

Kurvendiskussion (Punkte im Intervall)

Nullstellen (6):

N_{1}(-2\pi \mid 0)

N_{2}(-\pi \mid 0)

N_{3}(0 \mid 0)

N_{4}(\pi \mid 0)

N_{5}(2\pi \mid 0)

N_{6}(3\pi \mid 0)

Hochpunkte (3):

H_{1}(-\frac{3\pi}{2} \mid 1)

H_{2}(\frac{\pi}{2} \mid 1)

H_{3}(\frac{5\pi}{2} \mid 1)

Tiefpunkte (2):

T_{1}(-\frac{\pi}{2} \mid -1)

T_{2}(\frac{3\pi}{2} \mid -1)

Wendepunkte (6):

W_{1}(-2\pi \mid 0)

W_{2}(-\pi \mid 0)

W_{3}(0 \mid 0)

W_{4}(\pi \mid 0)

W_{5}(2\pi \mid 0)

W_{6}(3\pi \mid 0)

Origine Historique et Défi Résolu

Pourquoi ces mathématiques ont-elles été développées, d'où viennent-elles et quel problème réel ont-elles résolu ?

📜

Epoche & ZeitalterAncient Astronomy to Fourier Analysis (c. 150 BCE – 1822 CE)

Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Aryabhata, Leonhard Euler, Joseph Fourier

1. Periodic Natural Phenomena & Oscillations

Ocean tides, planetary orbits, pendulums, and musical sounds repeat periodically. Classical linear mathematics could not continuously model smooth harmonic circular and wave motions.

2. Unit Circle Functions & Fourier Decomposition

Euler defined sine and cosine as continuous functions on the unit circle. In 1822, Joseph Fourier proved that ANY periodic oscillation (sound, heat, light) can be decomposed into a sum of pure sine and cosine waves.

3. MP3 Compression, Wi-Fi, 5G & MRI Scanners

Wireless telecommunications, Wi-Fi networks, MP3 audio compression, and MRI medical imaging function by converting complex waveforms into sine and cosine components.

„Fourier series are one of the most magnificent discoveries of the human mind.“ — Lord Kelvin

Applications réelles des phénomènes périodiques

Les fonctions sinus et cosinus sont le langage mathématique fondamental pour décrire les ondes, les oscillations et les cycles naturels.

Cinématique & Loisirs

Modélisation d'une Grande Roue

La hauteur d'une nacelle au-dessus du sol suit une oscillation cosinus h(t) = -r·cos(ωt) + h_centre avec le rayon r et la hauteur d'axe h_centre.

Praxis-Beispiel:

Grande roue de rayon 15 m, hauteur d'axe 18 m et période de 30 s : h(t) = -15·cos((π/15)t) + 18.

Océanographie & Géophysique

Marées Océaniques (Flux et Reflux)

Le niveau d'eau périodique dû à l'attraction gravitationnelle de la Lune est modélisé par une courbe sinusoïdale de période p ≈ 12,4 heures.

Praxis-Beispiel:

Hauteur moyenne de 3,5 m avec amplitude de 1,8 m : W(t) = 1,8·sin((2π/12,4)t) + 3,5.

Acoustique & Électrotechnique

Ondes Sonores & Courant Alternatif

Les sons musicaux (La 440 Hz) et la tension secteur (230 V, 50 Hz) sont des oscillations sinusoïdales pures y(t) = A·sin(2π·f·t).

Praxis-Beispiel:

Tension alternative réseau avec valeur de crête de 325 V : u(t) = 325·sin(100π·t) V.

Guide mathématique des fonctions trigonométriques générales

La fonction sinusoïdale f(x) = a·sin(b(x-c))+d étend la trigonométrie du triangle rectangle aux oscillations périodiques continues sur l'ensemble des réels.

Amplitude |a| & Ligne médiane d

L'amplitude |a| indique l'écart maximal par rapport à la position d'équilibre. Le paramètre d décale la fonction verticalement (axe y = d). Image : 𝕎 = [d-|a|; d+|a|].

Facteur de fréquence b & Période p

Le facteur b compresse (b > 1) ou étire (b < 1) la courbe selon l'axe horizontal. La période est p = 2π / |b| (en degrés : p = 360° / |b|). La pulsation est ω = |b|.

Déphasage horizontal c

Le paramètre c décale le graphe horizontalement : (x - c) vers la droite, (x + c) vers la gauche. On a cos(x) = sin(x + π/2).

Cycle de dérivation et d'intégration

En radians : sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x). Avec dérivée composée : (a·sin(b(x-c)))' = a·b·cos(b(x-c)).

Foire aux questions (FAQ) sur les fonctions sinus et cosinus

Quelle est la différence entre sinus et cosinus ?▼

Le cosinus est simplement une fonction sinus décalée de 90° (π/2 rad) vers la gauche : cos(x) = sin(x + π/2). Les deux ont la même amplitude, période et forme.

Quand faut-il utiliser les radians (rad) et les degrés (°) ?▼

En analyse et en physique, les radians sont obligatoires car la formule (sin x)' = cos x n'est exacte sans coefficient qu'en radians. Les degrés sont utilisés en géométrie de base.

Comment résoudre une équation comme sin(x) = 0,5 sur [0; 2π] ?▼

1. Valeur principale via l'arcsinus : x₁ = arcsin(0,5) = π/6 (30°). 2. Solution symétrique au 2e quadrant : x₂ = π - x₁ = 5π/6 (150°). On ajoute ensuite les multiples de la période + k·2π.

Comment déterminer la fonction sinusoïdale d'une grande roue ?▼

Amplitude a = rayon r, médiane d = hauteur d'axe = hauteur d'embarquement + r, période p = durée d'un tour T, b = 2π/T. Si la nacelle part du bas : h(t) = -r·cos((2π/T)t) + d.

Pourquoi la dérivée de sin(x) est-elle cos(x) ?▼

À l'origine x=0, la pente de sin(x) est maximale (1 = cos(0)), et aux sommets x=π/2 la pente est nulle (cos(π/2) = 0). La courbe des pentes tangentes correspond rigoureusement à la fonction cosinus.