🐼
ToolPanda.appSlimme Rekenmachines & Omrekenaars

Vector Calculator 2D & 3D (Inproduct, Kruisproduct & Spatproduct)

Bereken 2D- en 3D-vectoren stap voor stap: optelling, lengte, inproduct, kruisproduct, spatproduct, hoek, orthogonaliteit en oppervlakte/volume met 3D-visualisatie.

WhatsAppTelegram
Beispiele:
Vektor a
Vektor b

3D Isometrische Vektor-Visualisierung

3D/2D Visualizer Optionen:
x₁x₂x₃a (2, 1, 3)b (1, -2, 1)c (0, 3, 2)a + b (3, -1, 4)a × b (7, 1, -5)
Skalarprodukt (a · b)
3

Nicht orthogonal

Schnittwinkel (φ)
70.89°

1.2373 rad

Parallelogrammfläche (A)
8.6603 FE

Dreieck: 4.3302 FE

Längen |a| und |b|
|a| = 3.7417 | |b| = 2.4495

Abstand d(a,b) = 3.7417 LE

Kreuzprodukt (Vektorprodukt a × b)
a × b = (7, 1, -5)

Normalenvektor senkrecht auf a und b mit Länge |a × b| = 8.6603.

Spatprodukt [a, b, c] & Volumen
V_Spat = 7 VE | V_Pyramide = 1.1667 VE

Die Vektoren spannen einen echten 3D-Körper auf (linear unabhängig).

Vollständiger mathematischer Lösungsweg & Formeln

Vektor a=(2,1,3),Vektor b=(1,−2,1)\text{Vektor } a = (2, 1, 3), \quad \text{Vektor } b = (1, -2, 1)
Vektoraddition: a+b=(2+1,1+−2,3+1)=(3,−1,4)\text{Vektoraddition: } a + b = (2 + 1, 1 + -2, 3 + 1) = (3, -1, 4)
Vektorsubtraktion: a−b=(2−1,1−−2,3−1)=(1,3,2)\text{Vektorsubtraktion: } a - b = (2 - 1, 1 - -2, 3 - 1) = (1, 3, 2)
La¨nge ∣a∣=22+12+32=14≈3.7417\text{Länge } |a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417
La¨nge ∣b∣=12+−22+12=6≈2.4495\text{Länge } |b| = \sqrt{1^2 + -2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495
Skalarprodukt: a⋅b=(2⋅1)+(1⋅−2)+(3⋅1)=3\text{Skalarprodukt: } a \cdot b = (2 \cdot 1) + (1 \cdot -2) + (3 \cdot 1) = 3
Kreuzprodukt: a×b=((1⋅1)−(3⋅−2)(3⋅1)−(2⋅1)(2⋅−2)−(1⋅1))=(71−5)\text{Kreuzprodukt: } a \times b = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) - (3 \cdot -2) \\ (3 \cdot 1) - (2 \cdot 1) \\ (2 \cdot -2) - (1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}
Fla¨cheninhalt des Parallelogramms: A=∣a×b∣=72+12+−52=75≈8.6603\text{Flächeninhalt des Parallelogramms: } A = |a \times b| = \sqrt{7^2 + 1^2 + -5^2} = \sqrt{75} \approx 8.6603
Schnittwinkel: cos⁡(φ)=33.7417⋅2.4495  ⟹  φ≈70.89∘\text{Schnittwinkel: } \cos(\varphi) = \frac{3}{3.7417 \cdot 2.4495} \implies \varphi \approx 70.89^\circ
Dritter Vektor c=(0,3,2)\text{Dritter Vektor } c = (0, 3, 2)
Spatprodukt: [a,b,c]=(a×b)⋅c=(7⋅0)+(1⋅3)+(−5⋅2)=−7\text{Spatprodukt: } [a, b, c] = (a \times b) \cdot c = (7 \cdot 0) + (1 \cdot 3) + (-5 \cdot 2) = -7
Spatvolumen (Parallelepiped): VSpat=∣[a,b,c]∣=7\text{Spatvolumen (Parallelepiped): } V_{\text{Spat}} = |[a, b, c]| = 7
Pyramidenvolumen: VPyr=16∣[a,b,c]∣=76≈1.1667\text{Pyramidenvolumen: } V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{6} |[a, b, c]| = \frac{7}{6} \approx 1.1667
Komplanarita¨t: Das Spatprodukt ist −7≠0  ⟹  nicht in einer Ebene (linear unabha¨ngig)\text{Komplanarität: Das Spatprodukt ist } -7 \neq 0 \implies \text{nicht in einer Ebene (linear unabhängig)}

Historische Oorsprong & Het Opgeloste Probleem

Waarom werd deze wiskunde ontwikkeld, waar komt het vandaan en welk reëel probleem werd ermee opgelost?

📜
Epoche & Zeitalter19th Century (1843 – 1881)
Pioniere: William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside

1. Physical Forces in 3D Space Without Coordinate Clutter

Forces, velocities, and electromagnetic fields possess both magnitude and spatial direction. In the early 19th century, physicists had to write cumbersome scalar equations for each individual coordinate axis (x, y, z).

2. Vector Calculus, Dot & Cross Products

Gibbs and Heaviside extracted modern vector analysis from Hamilton's quaternions. Defining vectors with dot and cross products made 3D mechanical work, angles, and torque calculations extraordinarily streamlined.

3. Aerodynamics, Space Flight & Physics Game Engines

Aircraft flight dynamics, rocket trajectory simulation, and rigid-body collision physics in video games rely entirely on vector math.

„Vector analysis is the natural language of three-dimensional physics.“ — Josiah Willard Gibbs

Praktische toepassingen van vectorrekenen

Vectoren vormen het fundament voor natuurkunde, 3D-animatie, robotica en luchtvaartnavigatie.

Luchtvaart & Navigatie

Vluchtpad- en snelheidsvectoren

Navigatiesystemen combineren vectorieel de luchtsnelheid met de windvector om de werkelijke grondkoers te bepalen.

Praxis-Beispiel:

Vliegtuigsnelheid (250, 50, 10) + Wind (-30, 10, 0) = Grondsnelheid (220, 60, 10) km/u.

3D-Graphics & Game Engines

Normaalvectoren & Belichting

3D-engines berekenen via het kruisproduct de normaalvector op polygonen voor realistische lichtinval en schaduwen.

Praxis-Beispiel:

Zijden u en v van een polygoon leveren de normaalvector n = u × v voor raytracing.

Bouwkunde & Statica

Krachtenontbinding in constructies

Berekening van trek- en drukkrachten in bruggen via vectorevenwicht (som van krachten = 0).

Praxis-Beispiel:

Kabelkrachten worden ontbonden in x-, y- en z-richting: F = F_x + F_y + F_z.

Wiskundige gids voor vectorrekenen

Een vector bezit een grootte en richting en is essentieel binnen de lineaire algebra.

Vectoroptelling & Lengte (Norm)

Optelling gebeurt elementsgewijs. De lengte wordt berekend met de stelling van Pythagoras: |a| = √(a1² + a2² + a3²).

Inproduct (Scalair product)

Het inproduct a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 is nul als de vectoren loodrecht op elkaar staan (90°).

Kruisproduct (Uitproduct)

Het kruisproduct a × b levert een 3D-vector loodrecht op beide vectoren. De lengte is de oppervlakte van het parallellogram.

Spatproduct & Volume

Het spatproduct [a, b, c] = (a × b) · c berekent de inhoud van het parallellepipedum in de 3D-ruimte.

Veelgestelde vragen (FAQ) over vectoren

Wat is het verschil tussen inproduct en kruisproduct?▼

Het inproduct resulteert in een getal (scalair), terwijl het kruisproduct een nieuwe 3D-vector oplevert.

Wanneer zijn twee vectoren collineair (evenwijdig)?▼

Wanneer de ene vector een veelvoud is van de andere of hun kruisproduct de nulvector is.

Hoe bereken je de hoek tussen twee vectoren?▼

Via cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|) met de arccos functie.

Wat betekent coplanair?▼

Vectoren zijn coplanair als ze in hetzelfde vlak liggen, wat betekent dat hun spatproduct gelijk is aan 0.