Stelsels van Lineaire Vergelijkingen Calculator

Los 2x2 en 3x3 lineaire stelsels stap voor stap op met de eliminatiemethode, substitutie of Gauss-eliminatie. Inclusief 2D-snijpuntgrafiek en interactieve oefenmodule.

Delen:WhatsApp Telegram

Schnellauswahl typischer 2x2 Systeme:

Koeffizienten eingeben (Form: $a \cdot x + b \cdot y = c$):

I:x +y =

II:x +y =

Eingegebenes System:

\begin{cases} \text{I:} & 2x+ 3y = 12 \\ \text{II:} & 4x- y = 10 \end{cases}

Geometrische Veranschaulichung: Schnitt zweier Geraden

Schnittpunkt S(3.00 | 2.00)

Gerade I: y = -0,667x + 4

Gerade II: y = 4x - 10

Schnittpunkt (eindeutige Lösung)

Lösungsmenge

\mathbb{L} = \{ (3 \mid 2) \}

📚Schritt-für-Schritt-Lösungsweg

Wähle dein bevorzugtes mathematisches Lösungsverfahren:

Schritt 1: Gleichungen multiplizieren, um eine Variable anzugleichen

Multipliziere Gleichung I mit -1 und Gleichung II mit -3, damit die Koeffizienten von $y$ entgegengesetzt gleich sind:

\begin{array}{lrcr} \text{I} \cdot (-1): & -2x + -3y & = & -12 \\ \text{II} \cdot (-3): & -12x - 3y & = & -30 \end{array}

Schritt 2: Beide Gleichungen addieren (Elimination von y)

Durch Addition der beiden Gleichungen hebt sich die Variable $y$ vollständig auf:

(-2 + (-12))x = -12 + (-30) \implies -14x = -42 \implies \mathbf{x = 3}

Schritt 3: Berechnetes x in Gleichung I einsetzen, um y zu bestimmen

Setze $x = 3$ in Gleichung I ein und löse nach $y$ auf:

2 \cdot (3) + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies \mathbf{y = 2}

Historische Oorsprong & Het Opgeloste Probleem

Waarom werd deze wiskunde ontwikkeld, waar komt het vandaan en welk reëel probleem werd ermee opgelost?

📜

Epoche & ZeitalterAncient China & European Geodesy (c. 150 BCE – 1809 CE)

Pioniere: Chinese Scholars (Nine Chapters on the Mathematical Art), Carl Friedrich Gauss

1. Multi-Variable Crop Accounting & Geodetic Surveys

Over 2,000 years ago, Chinese grain administrators needed to determine yields of individual crop grades from aggregated wagon loads. Later, Gauss needed to determine Earth's ellipsoidal shape from hundreds of noisy survey angles.

2. Gaussian Elimination & Row Reduction

Gauss systematized row operations to reduce linear systems into upper triangular echelon form, enabling straightforward backward substitution to find exact solutions.

3. CT Scanners, Computer Graphics & Logistics Optimization

Medical CT scanners solve linear systems with millions of variables in milliseconds to reconstruct 3D cross-sectional organ scans from X-ray data.

„Mathematics is the queen of the sciences.“ — Carl Friedrich Gauss

Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle

Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:

Elektrotechniek

Wetten van Kirchhoff

Berekening van stromen en spanningen in elektrische netwerken met meerdere mazen.

Praxis-Beispiel:

Een netwerk met 3 mazen leidt tot een 3x3 lineair stelsel voor stromen I1, I2 en I3.

Economie & Bedrijfskunde

Productieplanning & Capaciteit

Bepaling van optimale productcombinaties binnen lineaire grondstof- en tijdslimieten.

Praxis-Beispiel:

Berekening van productiehoeveelheden A en B op basis van machinecapaciteit.

3D Graphics & Robotica

Coördinatentransformaties

Rendering engines en robots lossen continu lineaire stelsels op voor ray tracing en bewegingssturing.

Praxis-Beispiel:

Snijpuntberekening van lichtstralen met 3D-polygonen.

Wiskundige Basis: Stelsels Lineaire Vergelijkingen

Een stelsel van lineaire vergelijkingen bestaat uit meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden. Meetkundig stelt elke vergelijking met 2 onbekenden een rechte lijn voor in het coördinatenstelsel. Het snijpunt levert de oplossing (x, y).

Standaardmethoden voor 2x2-stelsels zijn de eliminatiemethode (optellen/aftrekken van vergelijkingen), de substitutiemethode en de regel van Cramer met determinanten.

Voor grotere stelsels (3x3) wordt Gauss-eliminatie toegepast om de uitgebreide matrix om te vormen tot een echelonvorm. Een stelsel kan exact één oplossing, oneindig veel oplossingen (samenvallende lijnen) of geen oplossing hebben (evenwijdige lijnen).

Veelgestelde Vragen (FAQ) over Lineaire Stelsels

Wanneer heeft een stelsel geen of oneindig veel oplossingen?

Als er een tegenstrijdigheid zoals 0 = 5 ontstaat, is het stelsel strijdig (evenwijdige lijnen). Als 0 = 0 ontstaat, zijn er oneindig veel oplossingen (samenvallende lijnen).

Welke oplossingsmethode is het snelst?

Voor 2x2-stelsels is de eliminatiemethode vaak het snelst. Voor 3x3 en groter is Gauss-eliminatie de standaard.

Wat toont de 2D-grafiek?

De grafiek toont beide lijnen in het vlak en markeert het exacte snijpunt van de oplossing.