🐼
ToolPanda.appSlimme Rekenmachines & Omrekenaars

Driehoek Rekenmachine – Sinusregel & Cosinusregel

Bereken elke willekeurige driehoek volledig uit 3 gegevens (ZZZ, ZHZ, HZH, ZZHoek). Inclusief alle hoeken, zijden, hoogtes, oppervlakte (Heron), inspringende en omgeschreven cirkel.

WhatsAppTelegram
Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Historische Oorsprong & Het Opgeloste Probleem

Waarom werd deze wiskunde ontwikkeld, waar komt het vandaan en welk reëel probleem werd ermee opgelost?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Praktijktoepassingen van Driehoeksberekeningen

Ontdek hoe sinusregel, cosinusregel en triangulatie worden toegepast in landmeting, navigatie en constructiebouw.

Landmeetkunde & Geodesie

Triangulatie & Terreinmeting

Bepaling van ontoegankelijke afstanden en bergtoppen met theodolieten en basislijnen.

Praxis-Beispiel:

Berekening van de afstand tot een bergtop vanaf twee grondposities met de sinusregel.

Navigatie & Luchtvaart

Koerscorrectie & Winddrift

Berekening van driftcorrecties voor vliegtuigen bij zijwind via vectordriehoeken.

Praxis-Beispiel:

Bepaling van de ware stuurkoers en grondsnelheid met de cosinusregel.

Bouwkunde & Architectuur

Dakconstructies & Vakwerkliggers

Stabiliteits- en spankrachtberekeningen in driehoekige vakwerkconstructies voor daken en bruggen.

Praxis-Beispiel:

Exacte berekening van spantlengtes bij asymmetrische zadeldaken.

Gids: Willekeurige Driehoeken, Sinusregel & Cosinusregel

Willekeurige driehoeken hebben geen rechte hoek van 90°. Met de sinusregel en de cosinusregel kunnen alle ontbrekende zijden en hoeken exact worden berekend.

Sinusregel

Zijden verhouden zich als de sinussen van de tegenoverliggende hoeken: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R.

Cosinusregel

Veralgemening van Pythagoras voor alle driehoeken: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Goniometrische Oppervlakteformule

Oppervlakte uit twee zijden en de ingesloten hoek: A = ½ · a · b · sin(γ).

Formule van Heron

Oppervlakte uit 3 zijden met halve omtrek s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Veelgestelde Vragen over Driehoeken

Wanneer gebruik je de sinusregel en wanneer de cosinusregel?▼

Gebruik de cosinusregel bij drie zijden (ZZZ) of twee zijden en de ingesloten hoek (ZHZ). Gebruik de sinusregel zodra een paar van zijde en tegenoverliggende hoek bekend is (HZH, ZZHoek).

Wat houdt de driehoeksongelijkheid in?▼

De som van twee willekeurige zijden moet altijd strikt groter zijn dan de derde zijde (a + b > c).

Wat is het verschil tussen de ingeschreven en omgeschreven cirkel?▼

De omgeschreven cirkel gaat door alle 3 hoekpunten (middelloodlijnen). De ingeschreven cirkel raakt alle 3 zijden aan de binnenzijde (deellijnen).

Hoe bereken je de hoogtes van een driehoek?▼

Via de oppervlakte A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b en h_c = 2A / c.