Boomdiagram Rekenmachine & Kruistabel 2x2

Bereken meerstaps kansexperimenten, padkansen (1e padregel), totale kansen (2e padregel), voorwaardelijke kansen volgens Bayes en synchrone kruistabellen.

Delen:WhatsApp Telegram

Klassische Praxisbeispiele (Presets)

1. Stufe: P(Krank (K))10.0% (0.100)

0%P(Gesund (G)) = 90.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Krank (K))95.0% (0.950)

0%P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 5.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Gesund (G))5.0% (0.050)

0%P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 95.0%100%

P(B) - Totale Wk.14.00%0.1400

P(Krank (K) ∩ Test Positiv (+))9.50%0.0950

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) (Bayes)67.86%0.6786

UnabhängigkeitAbhängig

Baumdiagramm (2-Stufig)

Stochastisch abhängig

Vierfeldertafel (Wahrscheinlichkeiten)Summe Zeilen & Spalten = Randwahrscheinlichkeiten

Ereignis	Krank (K)	Gesund (G)	Σ (Gesamt)
Test Positiv (+)	0.09509.50%	0.04504.50%	0.1400P(Test Positiv (+))
Test Negativ (-)	0.00500.50%	0.855085.50%	0.8600P(Test Negativ (-))
Σ (Gesamt)	0.1000P(Krank (K))	0.9000P(Gesund (G))	1.0000 (100%)

📚Schritt-für-Schritt Rechenweg

\text{\textbf{1. Pfadregel (Multiplikationssatz für Pfade):}}

P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.9500 = 0.0950

P(Krank (K) \cap Test Negativ (-)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.0500 = 0.0050

P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.0500 = 0.0450

P(Gesund (G) \cap Test Negativ (-)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.9500 = 0.8550

\text{\textbf{2. Pfadregel (Totale Wahrscheinlichkeit):}}

P(Test Positiv (+)) = P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) + P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 + 0.0450 = 0.1400

P(Test Negativ (-)) = 1 - P(Test Positiv (+)) = 0.8600

\text{\textbf{Satz von Bayes (Bedingte Wahrscheinlichkeit):}}

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) = \frac{P(Krank (K) \cap Test Positiv (+))}{P(Test Positiv (+))} = \frac{0.0950}{0.1400} = 0.6786 \; (67.86\%)

\text{\textbf{Stochastische Unabhängigkeit:}}\text{ Da } P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 \neq P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)) = 0.0140, \text{ sind die Ereignisse } A \text{ und } B \text{ \textbf{stochastisch abhängig}.}

Historische Oorsprong & Het Opgeloste Probleem

Waarom werd deze wiskunde ontwikkeld, waar komt het vandaan en welk reëel probleem werd ermee opgelost?

📜

Epoche & ZeitalterClassical Probability (1654 – 1763)

Pioniere: Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Thomas Bayes

1. Unfinished Games of Chance & Diagnostic Fallacies

In 1654, Chevalier de Méré asked Pascal: how should the prize money be divided fairly if a dice game is interrupted prematurely? Furthermore, how does one assess diagnostic test accuracy when a disease is exceptionally rare?

2. Tree Diagram Path Rules & Bayes' Theorem

Fermat and Pascal developed multiplication and addition path rules. Thomas Bayes formulated Bayes' theorem for conditional probability, demonstrating how prior beliefs (prior) are updated by new evidence (posterior).

3. Spam Filters, Medical Diagnostics & Forensic DNA

Naive Bayes email spam filters, AI diagnostic assistants in radiology, and legal forensic evidence evaluation rely on Bayesian conditional probability.

„Probability theory is nothing but common sense reduced to calculation.“ — Pierre-Simon Laplace

Praktijktoepassingen van Boomdiagrammen & Bayes

Ontdek hoe kansbomen en de stelling van Bayes gefundeerde beslissingen mogelijk maken in geneeskunde, industrie en logistiek.

Gezondheidszorg & Diagnostiek

Medische Sneltests & Bayes-Paradox

Berekening van de positief voorspellende waarde bij lage prevalentie in bevolkingsonderzoek.

Praxis-Beispiel:

Ondanks 98% testnauwkeurigheid is bij 1% prevalentie een positieve test slechts voor ca. 16% betrouwbaar.

Kwaliteitsborging

Foutenboomanalyse in Fabrieken

Analyse van geautomatiseerde productielijnen om het totale percentage uitval te bepalen.

Praxis-Beispiel:

Berekening van het gecombineerde uitvalpercentage over meerdere montagestations.

Transport & Logistiek

Risicoanalyse in Toeleveringsketens

Gecombineerde kansen op leveringsvertragingen door weersomstandigheden of douanecontroles.

Praxis-Beispiel:

Voorspelling van tijdige levering bij internationale transportroutes.

Gids: Boomdiagrammen, Padregels & Stelling van Bayes

Een boomdiagram ordent samengestelde toevalsexperimenten overzichtelijk en maakt het eenvoudig om padkansen en kruistabellen te berekenen.

1e Padregel (Productregel)

De kans op een pad is het product van de kansen langs dat pad: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).

2e Padregel (Somregel / Totale Kans)

Tel de kansen van alle disjuncte paden op die naar gebeurtenis B leiden: P(B) = P(A ∩ B) + P(niet A ∩ B).

Stelling van Bayes

Berekent de omgekeerde voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Stochastische Onafhankelijkheid

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als en slechts als P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Veelgestelde Vragen over Boomdiagrammen

Wat is het verschil tussen trekken met en zonder terugleggen?▼

Met terugleggen blijven de kansen per trekking constant. Zonder terugleggen daalt het aantal beschikbare ballen, waardoor voorwaardelijke kansen veranderen.

Wanneer kies je een kruistabel in plaats van een boomdiagram?▼

Een kruistabel is ideaal voor een statisch overzicht van twee binaire eigenschappen; een boomdiagram is beter voor tijdsvolgordes.

Waarom is de stelling van Bayes zo belangrijk bij medische tests?▼

Omdat bij zeldzame ziektes het aantal vals-positieven vaak groter is dan het aantal echt-positieven.

Wat betekent stochastische onafhankelijkheid?▼

Dat het optreden van gebeurtenis A geen enkele invloed heeft op de kans van gebeurtenis B: P(B|A) = P(B).

Wie hängen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (2x2-Tabelle) zusammen?▼

Ein zweistufiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel stellen dieselben stochastischen Zusammenhänge dar. Die Pfade des Baumdiagramms entsprechen den Schnittmengen P(A ∩ B) in den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel. Aus der Vierfeldertafel lassen sich die Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (Satz von Bayes) direkt ablesen und berechnen.