Functiefamilies & Baankromme Rekenmachine met Slider & Trainer

Beim Ableiten nach $x$ wird der Scharparameter $k$ wie eine feste Zahl (Konstante) nach der Faktor- und Potenzregel behandelt:

Gleichung $x^3 - 3kx = 0 \implies x(x^2 - 3k) = 0$. $x_1 = 0$ existiert immer. Für $k > 0$ existieren zwei weitere reelle Nullstellen bei $\pm\sqrt{3k}$. Für $k < 0$ gibt es nur die Nullstelle im Ursprung.

Notwendige Bedingung $f'_k(x) = 0$:

Notwendige Bedingung: $3x^2 - 3k = 0 \implies x = \pm\sqrt{k}$. Prüfung mit $f''_k(x) = 6x$: $f''_k(-\sqrt{k}) = -6\sqrt{k} < 0$ (Hochpunkt), $f''_k(\sqrt{k}) = 6\sqrt{k} > 0$ (Tiefpunkt).

Für alle $k$ ist $x = 0$ Wendestelle, da $f''_k(0) = 0$ und $f'''_k(0) = 6 \neq 0$. Der Wendepunkt liegt fest bei $(0 \mid 0)$.

Ansatz $f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x) \implies x^3 - 3k_1x = x^3 - 3k_2x \implies -3(k_1 - k_2)x = 0$. Da $k_1 \neq k_2$, folgt $x = 0$. Der gemeinsame Fixpunkt aller Scharkurven ist $(0 \mid 0)$.