Binomiale Verdeling Calculator & Bernoulli Histogram
Bereken exacte en cumulatieve binomiale kansen B(n; p) stap voor stap met interactief histogram, normale benadering (Gauss-kromme) en trainer.
⚙️Verteilungsparameter n und p festlegen
Passe Versuchszahl n und Trefferwahrscheinlichkeit p flexibel an.
📝Ausführlicher Rechenweg & Formelherleitung
Bei $n = 20$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,50$ ($q = 1 - p = 0,50$):
Die Formel für genau $k$ Treffer lautet $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$:
Da $\sigma = 2,24 \le 3$, ist die Verteilung zu schmal für eine stetige Glockenkurven-Approximation.
Historische Oorsprong & Het Opgeloste Probleem
Waarom werd deze wiskunde ontwikkeld, waar komt het vandaan en welk reëel probleem werd ermee opgelost?
1. Quality Control in Coin Minting & Gambler Runs
Royal mints needed to ensure minted gold coins met strict purity tolerances. Authorities had no mathematical model to calculate the probability of finding exactly k defective coins in a batch of 100 samples.
2. Bernoulli Trials & The Binomial Probability Formula
In "Ars Conjectandi", Bernoulli proved the formula P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) and established the Law of Large Numbers: observed frequencies converge to theoretical probabilities over large samples.
3. Industrial Quality Assurance, Polling & A/B Testing
Website A/B testing, semiconductor chip manufacturing yield metrics, and national election exit polls rely directly on the binomial distribution.
Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle
Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:
Steekproeven & Foutpercentages
Controle van industriële partijen op fabricagefouten.
Controle van 100 stuks met 2% uitval op hoogstens 3 defecten.
Verkiezingsprognoses
Schatting van betrouwbaarheidsintervallen bij representatieve peilingen.
Schatting van stemverhoudingen bij 1.000 kiezers.
Klinische Studies
Beoordeling van de werkzaamheid van nieuwe medicijnen.
Kans dat minstens 80 van de 100 patiënten herstellen.
Wiskundige Basis: Bernoulli-experimenten & Binomiale Verdeling
Een Bernoulli-experiment heeft exact twee uitkomsten: succes (p) en mislukking (1 - p). Het n keer onafhankelijk herhalen vormt een Bernoulli-reeks.
De kans op precies k successen volgt de formule van Bernoulli: P(X = k) = (n boven k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Belangrijke statistieken zijn de verwachtingswaarde μ = n · p, variantie Var(X) = n · p · (1-p) en standaardafwijking σ = √(n · p · (1-p)).
Veelgestelde Vragen (FAQ) over Binomiale Verdeling
Wanneer is een kansproces binomiaal verdeeld?
Wanneer er sprake is van n onafhankelijke trekkingen met teruglegging en exact 2 uitkomsten met constante succeskans p.
Hoe bereken je minstens k successen P(X ≥ k)?
Via de complementaire gebeurtenis: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
Wat betekenen de sigma-intervallen?
Het interval [μ - σ, μ + σ] dekt ongeveer 68,3% van de kansverdeling.