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Calculadora de Triângulos – Lei dos Senos e Cossenos

Resolva qualquer triângulo a partir de 3 dados (LLL, LAL, ALA, LLA). Calcule ângulos, lados, alturas, área por Heron, raio da circunferência inscrita e circunscrita.

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Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Origem Histórica e o Desafio Resolvido

Por que esta matemática foi desenvolvida, de onde veio e que problema real resolveu?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Aplicações Práticas da Trigonometria de Triângulos

Descubra como a lei dos senos, cossenos e a triangulação são empregadas em agrimensura, navegação e engenharia.

Agrimensura e Topografia

Triangulação e Medição de Terrenos

Determinação de distâncias inacessíveis e alturas de montanhas usando teodolitos e linhas de base.

Praxis-Beispiel:

Cálculo da distância a um pico a partir de dois pontos de observação com a lei dos senos.

Navegação Aérea e Marítima

Correção de Deriva pelo Vento

Ajuste de rumo de aeronaves sob vento lateral utilizando triângulos vetoriais.

Praxis-Beispiel:

Cálculo de proa real e velocidade em relação ao solo com a lei dos cossenos.

Arquitetura e Estruturas

Treliças e Estruturas de Telhados

Cálculo de forças estáticas em treliças triangulares de pontes e coberturas.

Praxis-Beispiel:

Dimensionamento exato de vigas em telhados de duas águas assimétricos.

Guia: Triângulos Quaisquer, Lei dos Senos e Cossenos

Triângulos oblíquos não possuem ângulo reto de 90°. A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos possibilitam calcular com precisão todos os lados e ângulos.

Lei dos Senos

Os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a / sen(α) = b / sen(β) = c / sen(γ) = 2R.

Lei dos Cossenos

Generalização do Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Área Trigonométrica

Área a partir de dois lados e o ângulo compreendido: A = ½ · a · b · sen(γ).

Fórmula de Heron

Área a partir dos 3 lados com semiperímetro s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Perguntas Frequentes sobre Triângulos

Quando usar a lei dos senos ou dos cossenos?▼

Use a lei dos cossenos com 3 lados (LLL) ou 2 lados e ângulo compreendido (LAL). Use a lei dos senos quando souber pelo menos um par lado-ângulo oposto (ALA, LLA).

O que diz a desigualdade triangular?▼

A soma de dois lados quaisquer deve ser sempre estritamente maior que o terceiro lado (a + b > c).

Qual a diferença entre círculo inscrito e circunscrito?▼

O circunscrito passa pelos 3 vértices (mediatrizes). O inscrito tangencia internamente os 3 lados (bissetrizes).

Como se calculam as alturas de um triângulo?▼

A partir da área A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b e h_c = 2A / c.