Calculadora de Diagrama de Árvore e Tabela 2x2

Calcule experimentos aleatórios em etapas, probabilidades de ramos, probabilidade total, probabilidades condicionais de Bayes e tabelas 2x2.

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Klassische Praxisbeispiele (Presets)

1. Stufe: P(Krank (K))10.0% (0.100)

0%P(Gesund (G)) = 90.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Krank (K))95.0% (0.950)

0%P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 5.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Gesund (G))5.0% (0.050)

0%P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 95.0%100%

P(B) - Totale Wk.14.00%0.1400

P(Krank (K) ∩ Test Positiv (+))9.50%0.0950

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) (Bayes)67.86%0.6786

UnabhängigkeitAbhängig

Baumdiagramm (2-Stufig)

Stochastisch abhängig

Vierfeldertafel (Wahrscheinlichkeiten)Summe Zeilen & Spalten = Randwahrscheinlichkeiten

Ereignis	Krank (K)	Gesund (G)	Σ (Gesamt)
Test Positiv (+)	0.09509.50%	0.04504.50%	0.1400P(Test Positiv (+))
Test Negativ (-)	0.00500.50%	0.855085.50%	0.8600P(Test Negativ (-))
Σ (Gesamt)	0.1000P(Krank (K))	0.9000P(Gesund (G))	1.0000 (100%)

📚Schritt-für-Schritt Rechenweg

\text{\textbf{1. Pfadregel (Multiplikationssatz für Pfade):}}

P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.9500 = 0.0950

P(Krank (K) \cap Test Negativ (-)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.0500 = 0.0050

P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.0500 = 0.0450

P(Gesund (G) \cap Test Negativ (-)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.9500 = 0.8550

\text{\textbf{2. Pfadregel (Totale Wahrscheinlichkeit):}}

P(Test Positiv (+)) = P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) + P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 + 0.0450 = 0.1400

P(Test Negativ (-)) = 1 - P(Test Positiv (+)) = 0.8600

\text{\textbf{Satz von Bayes (Bedingte Wahrscheinlichkeit):}}

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) = \frac{P(Krank (K) \cap Test Positiv (+))}{P(Test Positiv (+))} = \frac{0.0950}{0.1400} = 0.6786 \; (67.86\%)

\text{\textbf{Stochastische Unabhängigkeit:}}\text{ Da } P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 \neq P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)) = 0.0140, \text{ sind die Ereignisse } A \text{ und } B \text{ \textbf{stochastisch abhängig}.}

Origem Histórica e o Desafio Resolvido

Por que esta matemática foi desenvolvida, de onde veio e que problema real resolveu?

📜

Epoche & ZeitalterClassical Probability (1654 – 1763)

Pioniere: Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Thomas Bayes

1. Unfinished Games of Chance & Diagnostic Fallacies

In 1654, Chevalier de Méré asked Pascal: how should the prize money be divided fairly if a dice game is interrupted prematurely? Furthermore, how does one assess diagnostic test accuracy when a disease is exceptionally rare?

2. Tree Diagram Path Rules & Bayes' Theorem

Fermat and Pascal developed multiplication and addition path rules. Thomas Bayes formulated Bayes' theorem for conditional probability, demonstrating how prior beliefs (prior) are updated by new evidence (posterior).

3. Spam Filters, Medical Diagnostics & Forensic DNA

Naive Bayes email spam filters, AI diagnostic assistants in radiology, and legal forensic evidence evaluation rely on Bayesian conditional probability.

„Probability theory is nothing but common sense reduced to calculation.“ — Pierre-Simon Laplace

Aplicações Práticas de Árvores de Probabilidade e Bayes

Descubra como árvores de probabilidade auxiliam na tomada de decisões em medicina, qualidade e logística.

Medicina e Diagnóstico

Testes Diagnósticos e Paradoxo de Bayes

Cálculo do valor preditivo positivo sob baixa prevalência na população.

Praxis-Beispiel:

Com 98% de precisão e 1% de prevalência, um teste positivo tem cerca de 16% de probabilidade de acerto real.

Engenharia da Qualidade

Árvores de Falhas na Indústria

Análise de linhas automatizadas para estimar taxas globais de peças defeituosas.

Praxis-Beispiel:

Determinação do percentual de defeitos em múltiplos estágios de montagem.

Transporte e Logística

Modelagem de Riscos na Cadeia de Suprimentos

Probabilidades combinadas de atrasos por clima ou fiscalização alfandegária.

Praxis-Beispiel:

Previsão de pontualidade em rotas de transporte internacionais.

Guia: Árvores de Probabilidade, Regras de Caminhos e Bayes

Um diagrama de árvore organiza visualmente processos estocásticos em etapas, simplificando o cálculo de probabilidades conjuntas e marginais.

1ª Regra do Caminho (Multiplicação)

A probabilidade de um caminho é o produto das probabilidades ao longo dos seus ramos: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).

2ª Regra do Caminho (Probabilidade Total)

Soma-se a probabilidade de todos os caminhos disjuntos que levam ao evento B: P(B) = P(A ∩ B) + P(não A ∩ B).

Teorema de Bayes

Permite calcular a probabilidade condicional inversa: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Independência Estocástica

Dois eventos são estocasticamente independentes se e somente se P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Perguntas Frequentes sobre Diagramas de Árvore

Qual a diferença entre sorteio com e sem reposição?▼

Com reposição, as probabilidades permanecem constantes. Sem reposição, o total de itens diminui, alterando as probabilidades condicionais.

Quando usar tabela 2x2 ou diagrama de árvore?▼

A tabela 2x2 é excelente para resumir duas variáveis categóricas; a árvore é ideal para sequências cronológicas.

Por que o teorema de Bayes é crucial em exames de saúde?▼

Porque em doenças raras os falsos positivos superam os verdadeiros positivos, reduzindo a certeza real de um teste positivo.

O que significa independência estocástica?▼

Significa que a ocorrência do evento A não altera a probabilidade do evento B: P(B|A) = P(B).

Wie hängen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (2x2-Tabelle) zusammen?▼

Ein zweistufiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel stellen dieselben stochastischen Zusammenhänge dar. Die Pfade des Baumdiagramms entsprechen den Schnittmengen P(A ∩ B) in den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel. Aus der Vierfeldertafel lassen sich die Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (Satz von Bayes) direkt ablesen und berechnen.