Calculadora de Distribuição Binomial
Calcule probabilidades pontuais e acumuladas da distribuição binomial B(n; p) com passos detalhados, histograma interativo e curva de Gauss.
⚙️Verteilungsparameter n und p festlegen
Passe Versuchszahl n und Trefferwahrscheinlichkeit p flexibel an.
📝Ausführlicher Rechenweg & Formelherleitung
Bei $n = 20$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,50$ ($q = 1 - p = 0,50$):
Die Formel für genau $k$ Treffer lautet $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$:
Da $\sigma = 2,24 \le 3$, ist die Verteilung zu schmal für eine stetige Glockenkurven-Approximation.
Origem Histórica e o Desafio Resolvido
Por que esta matemática foi desenvolvida, de onde veio e que problema real resolveu?
1. Quality Control in Coin Minting & Gambler Runs
Royal mints needed to ensure minted gold coins met strict purity tolerances. Authorities had no mathematical model to calculate the probability of finding exactly k defective coins in a batch of 100 samples.
2. Bernoulli Trials & The Binomial Probability Formula
In "Ars Conjectandi", Bernoulli proved the formula P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) and established the Law of Large Numbers: observed frequencies converge to theoretical probabilities over large samples.
3. Industrial Quality Assurance, Polling & A/B Testing
Website A/B testing, semiconductor chip manufacturing yield metrics, and national election exit polls rely directly on the binomial distribution.
Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle
Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:
Inspeção de Lotes
Monitoramento de conformidade em linhas de produção.
Testar 100 peças com 2% de defeito para no máximo 3 falhas.
Amostragem Estatística
Cálculo de margens de erro em pesquisas eleitorais.
Pesquisa eleitoral com amostra de 1.000 entrevistados.
Ensaios Terapêuticos
Avaliação do índice de cura em tratamentos clínicos.
Probabilidade de cura de pelo menos 80 em 100 pacientes.
Fundamentos Matemáticos: Ensaios de Bernoulli e Binomial
Um ensaio de Bernoulli apresenta apenas dois resultados: sucesso (p) e fracasso (1 - p). A repetição independente por n vezes gera a distribuição binomial.
A probabilidade de k sucessos é P(X = k) = (n sobre k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Os valores característicos são o valor esperado μ = n · p, a variância Var(X) = n · p · (1-p) e o desvio padrão σ = √(n · p · (1-p)).
Perguntas Frequentes (FAQ) sobre Distribuição Binomial
Quando uma variável segue a distribuição binomial?
Quando há n ensaios independentes com apenas 2 desfechos possíveis e probabilidade p constante.
Como calcular ao menos k sucessos P(X ≥ k)?
Usando o evento complementar: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
O que representam os intervalos sigma?
O intervalo [μ - σ, μ + σ] concentra cerca de 68,3% da probabilidade.