Analiza & Trygonometria

Kalkulator Funkcji Sinus i Cosinus

Badaj ogólne funkcje sinusoidalne f(x) = a·sin(b(x-c))+d, wyznaczaj amplitudę, okres, częstotliwość, miejsca zerowe, ekstrema, korzystaj z interaktywnego koła trygonometrycznego i rozwiązuj zadania z modelowania okresowego.

Udostępnij:WhatsApp Telegram

Szablony szkolne i modelowe:

Parametry ogólnej funkcji trygonometrycznej

Amplitude |a| (Streckung y): 1

Frequenzfaktor b (Periode p = 2π): 1

Periode:

Phasenverschiebung c: 0

Presets:

Ruhelage / Mittellinie d (y-Richtung): 0

Gleichungslöser f(x) = y₀:

2D-Funktionsplotter

2D-Funktionsgraph & Schwingungsverlauf

x-Achse:

Funktion:

f(x) = sin(x)

Hochpunkte (3)

Tiefpunkte (2)

Nullstellen (6)

Wendepunkte (6)

Amplitude |a|

Auslenkung um Ruhelage

Periode p

p = 2\pi

≈ 6.2832 rad • Wellenlänge

Ruhelage d

y = 0

Symmetrieachse / Mittellinie

Wertebereich 𝕎

[-1; 1]

Min / Max Werte

Funktionsgleichung

f(x) = sin(x)

Analysis (Ableitungen & Stammfunktion)

1. Ableitung f'(x) (Steigung / Geschwindigkeit):

f'(x) = \cos(x)

2. Ableitung f''(x) (Krümmung / Beschleunigung):

f''(x) = -\sin(x)

Stammfunktion F(x):

F(x) = -\cos(x) + C

Kurvendiskussion (Punkte im Intervall)

Nullstellen (6):

N_{1}(-2\pi \mid 0)

N_{2}(-\pi \mid 0)

N_{3}(0 \mid 0)

N_{4}(\pi \mid 0)

N_{5}(2\pi \mid 0)

N_{6}(3\pi \mid 0)

Hochpunkte (3):

H_{1}(-\frac{3\pi}{2} \mid 1)

H_{2}(\frac{\pi}{2} \mid 1)

H_{3}(\frac{5\pi}{2} \mid 1)

Tiefpunkte (2):

T_{1}(-\frac{\pi}{2} \mid -1)

T_{2}(\frac{3\pi}{2} \mid -1)

Wendepunkte (6):

W_{1}(-2\pi \mid 0)

W_{2}(-\pi \mid 0)

W_{3}(0 \mid 0)

W_{4}(\pi \mid 0)

W_{5}(2\pi \mid 0)

W_{6}(3\pi \mid 0)

Pochodzenie Historyczne i Rozwiązany Problem

Dlaczego powstała ta matematyka, skąd pochodzi i jaki realny problem rozwiązała?

📜

Epoche & ZeitalterAncient Astronomy to Fourier Analysis (c. 150 BCE – 1822 CE)

Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Aryabhata, Leonhard Euler, Joseph Fourier

1. Periodic Natural Phenomena & Oscillations

Ocean tides, planetary orbits, pendulums, and musical sounds repeat periodically. Classical linear mathematics could not continuously model smooth harmonic circular and wave motions.

2. Unit Circle Functions & Fourier Decomposition

Euler defined sine and cosine as continuous functions on the unit circle. In 1822, Joseph Fourier proved that ANY periodic oscillation (sound, heat, light) can be decomposed into a sum of pure sine and cosine waves.

3. MP3 Compression, Wi-Fi, 5G & MRI Scanners

Wireless telecommunications, Wi-Fi networks, MP3 audio compression, and MRI medical imaging function by converting complex waveforms into sine and cosine components.

„Fourier series are one of the most magnificent discoveries of the human mind.“ — Lord Kelvin

Zastosowania zjawisk okresowych w życiu codziennym

Funkcje sinus i cosinus stanowią podstawowy język matematyczny do opisu fal, drgań mechanicznych i cykli w przyrodzie.

Kinematyka i Rozrywka

Modelowanie Diabelskiego Młyna

Wysokość wagonika nad ziemią opisuje funkcja cosinus h(t) = -r·cos(ωt) + h_oś z promieniem r i wysokością osi h_oś.

Praxis-Beispiel:

Koło o promieniu 15 m, wysokości osi 18 m i czasie obrotu 30 s: h(t) = -15·cos((π/15)t) + 18.

Oceanografia i Geofizyka

Pływy Morskie (Przypływ i Odpływ)

Okresowy poziom wody wywołany grawitacją Księżyca modeluje się sinusoidą o okresie p ≈ 12,4 godziny.

Praxis-Beispiel:

Średni poziom 3,5 m z amplitudą 1,8 m: W(t) = 1,8·sin((2π/12,4)t) + 3,5.

Akustyka i Elektrotechnika

Fale Dźwiękowe i Prąd Przemienny

Dźwięki muzyczne (A 440 Hz) i napięcie sieciowe (230 V, 50 Hz) to czyste drgania sinusoidalne y(t) = A·sin(2π·f·t).

Praxis-Beispiel:

Napięcie sieciowe o wartości szczytowej 325 V: u(t) = 325·sin(100π·t) V.

Przewodnik matematyczny po ogólnej funkcji sinus

Ogólna funkcja sinusoidalna f(x) = a·sin(b(x-c))+d rozszerza trygonometrię trójkąta na ciągłe drgania okresowe w zbiorze liczb rzeczywistych.

Amplituda |a| i Linia Środkowa d

Amplituda |a| określa maksymalne wychylenie od położenia równowagi. Parametr d przesuwa funkcję pionowo (linia środkowa y = d). Zbiór wartości: 𝕎 = [d-|a|; d+|a|].

Współczynnik b i Okres p

Współczynnik b ściska (b > 1) lub rozciąga (b < 1) wykres w poziomie. Okres wynosi p = 2π / |b| (w stopniach: p = 360° / |b|). Częstość kołowa to ω = |b|.

Przesunięcie fazowe c

Parametr c przesuwa wykres poziomo: (x - c) w prawo, (x + c) w lewo. Zachodzi tożsamość cos(x) = sin(x + π/2).

Cykl pochodnych i całek

W radianach: sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x). Z regułą łańcuchową: (a·sin(b(x-c)))' = a·b·cos(b(x-c)).

Najczęściej zadawane pytania (FAQ) o funkcje sinus i cosinus

Jaka jest różnica między sinusem a cosinusem?▼

Cosinus to funkcja sinus przesunięta o 90° (π/2 rad) w lewo: cos(x) = sin(x + π/2). Obie mają tę samą amplitudę, okres i kształt fali.

Kiedy stosuje się radiany (rad), a kiedy stopnie (°)?▼

W analizie matematycznej i fizyce zawsze używa się radianów, ponieważ tylko w radianach wzór (sin x)' = cos x zachodzi bez dodatkowych stałych przeliczeniowych.

Jak rozwiązać równanie sin(x) = 0,5 w przedziale [0; 2π]?▼

1. Wartość główna z arcus sinus: x₁ = arcsin(0,5) = π/6. 2. Rozwiązanie symetryczne w II ćwiartce: x₂ = π - x₁ = 5π/6. Pozostałe rozwiązania otrzymuje się dodając wielokrotności okresu + k·2π.

Jak wyznaczyć wzór funkcji dla diabelskiego młyna?▼

Amplituda a = promień r, linia środkowa d = wysokość osi = wysokość wejścia + r, okres p = czas obrotu T, b = 2π/T. Start z dołu: h(t) = -r·cos((2π/T)t) + d.

Dlaczego pochodną sinusa jest cosinus?▼

W początku układu x=0 nachylenie sinusa jest maksymalne (1 = cos(0)), a w szczytach x=π/2 wynosi 0 (cos(π/2) = 0). Krzywa lokalnych nachyleń odpowiada dokładnie wykresowi cosinusa.