Kalkulator Rozkładu Dwumianowego (Bernoulliego)
Obliczaj prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego B(n; p) krok po kroku z interaktywnym histogramem, nakładaną krzywą Gaussa i modułem treningowym.
⚙️Verteilungsparameter n und p festlegen
Passe Versuchszahl n und Trefferwahrscheinlichkeit p flexibel an.
📝Ausführlicher Rechenweg & Formelherleitung
Bei $n = 20$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,50$ ($q = 1 - p = 0,50$):
Die Formel für genau $k$ Treffer lautet $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$:
Da $\sigma = 2,24 \le 3$, ist die Verteilung zu schmal für eine stetige Glockenkurven-Approximation.
Pochodzenie Historyczne i Rozwiązany Problem
Dlaczego powstała ta matematyka, skąd pochodzi i jaki realny problem rozwiązała?
1. Quality Control in Coin Minting & Gambler Runs
Royal mints needed to ensure minted gold coins met strict purity tolerances. Authorities had no mathematical model to calculate the probability of finding exactly k defective coins in a batch of 100 samples.
2. Bernoulli Trials & The Binomial Probability Formula
In "Ars Conjectandi", Bernoulli proved the formula P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) and established the Law of Large Numbers: observed frequencies converge to theoretical probabilities over large samples.
3. Industrial Quality Assurance, Polling & A/B Testing
Website A/B testing, semiconductor chip manufacturing yield metrics, and national election exit polls rely directly on the binomial distribution.
Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle
Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:
Weryfikacja Wadliwości Partii
Statystyczna kontrola procesów produkcyjnych.
Kontrola 100 elementów przy 2% wadliwości dla co najwyżej 3 wad.
Sondaże Wyborcze
Wyznaczanie marginesu błędu i przedziałów ufności.
Szacowanie poparcia w próbie 1.000 respondentów.
Badania Kliniczne Leków
Ocena skuteczności terapii leczniczych.
Prawdopodobieństwo wyleczenia co najmniej 80 na 100 pacjentów.
Podstawy Matematyczne: Próby Bernoulliego i Rozkład Dwumianowy
Pojedyncza próba Bernoulliego ma tylko dwa wyniki: sukces (p) oraz porażkę (1 - p). Ciąg n niezależnych prób tworzy schemat Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów określa wzór Bernoulliego: P(X = k) = (n nad k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Kluczowe parametry to wartość oczekiwana μ = n · p, wariancja Var(X) = n · p · (1-p) i odchylenie standardowe σ = √(n · p · (1-p)).
Często Zadawane Pytania (FAQ) o Rozkład Dwumianowy
Kiedy stosuje się rozkład dwumianowy?
Gdy próby są niezależne, istnieją tylko 2 możliwe wyniki, a prawdopodobieństwo sukcesu p jest stałe.
Jak obliczyć co najmniej k sukcesów P(X ≥ k)?
Poprzez zdarzenie przeciwne: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
Co oznaczają przedziały sigma?
Przedział [μ - σ, μ + σ] obejmuje około 68,3% całego prawdopodobieństwa.