🐼
ToolPanda.appInteligentne Kalkulatory i Przeliczniki

Kalkulator Trójkąta – Twierdzenie Sinusów i Cosinusów

Rozwiąż dowolny trójkąt na podstawie 3 parametrów (BBB, BKB, KBK, BBK). Oblicz kąty, boki, wysokości, pole wzorem Herona, promień okręgu wpisanego i opisanego.

WhatsAppTelegram
Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Pochodzenie Historyczne i Rozwiązany Problem

Dlaczego powstała ta matematyka, skąd pochodzi i jaki realny problem rozwiązała?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Praktyczne Zastosowania Trygonometrii Trójkątów

Odkryj, jak twierdzenie sinusów, cosinusów i triangulacja są wykorzystywane w geodezji, nawigacji i budownictwie.

Geodezja i Pomiary Terenowe

Triangulacja i Pomiary Wysokościowe

Wyznaczanie odległości do niedostępnych obiektów i wierzchołków górskich za pomocą teodolitów.

Praxis-Beispiel:

Obliczanie odległości do szczytu z dwóch punktów bazowych przy użyciu twierdzenia sinusów.

Nawigacja Lotnicza i Morska

Korekta Znosu przez Wiatr

Korygowanie kursu samolotu przy wietrze bocznym przy użyciu trójkątów wektorowych.

Praxis-Beispiel:

Wyznaczanie kąta drogi i prędkości podróżnej z twierdzenia cosinusów.

Architektura i Konstrukcje

Kratownice i Więźby Dachowe

Analiza sił w układach trójkątnych mostów kratowych i więźb dachowych.

Praxis-Beispiel:

Precyzyjne obliczanie długości krokwi w dachach asymetrycznych.

Poradnik: Trójkąty Dowolne, Twierdzenie Sinusów i Cosinusów

Trójkąty dowolne nie posiadają kąta prostego. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów (Carnota) pozwalają w pełni wyznaczyć wszystkie ich elementy.

Twierdzenie Sinusów

Stosunek długości boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R.

Twierdzenie Cosinusów (Carnota)

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne trójkąty: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Trygonometryczny Wzór na Pole

Pole z dwóch boków i kąta między nimi: A = ½ · a · b · sin(γ).

Wzór Herona

Pole ze wszystkich 3 boków i połowy obwodu s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Często Zadawane Pytania o Trójkąty

Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy cosinusów?▼

Twierdzenie cosinusów stosuje się przy danych 3 bokach (BBB) lub 2 bokach i kącie zawartym (BKB). Twierdzenie sinusów stosuje się, gdy znana jest para bok-przeciwległy kąt (KBK, BBK).

Co mówi nierówność trójkąta?▼

Suma długości dowolnych dwóch boków musi być zawsze ściśle większa od długości trzeciego boku (a + b > c).

Czym różni się okrąg wpisany od opisanego?▼

Okrąg opisany przechodzi przez 3 wierzchołki (symetralne boków). Okrąg wpisany jest styczny do 3 boków (dwusieczne kątów).

Jak obliczyć wysokości trójkąta?▼

Ze wzoru na pole A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b oraz h_c = 2A / c.