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Calculadora de Vectores 2D y 3D (Producto Escalar y Cruz)

Calcula vectores 2D y 3D con pasos detallados: suma, módulo, producto escalar, producto cruz, producto mixto, ángulo, ortogonalidad y volúmenes.

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Beispiele:
Vektor a
Vektor b

3D Isometrische Vektor-Visualisierung

3D/2D Visualizer Optionen:
x₁x₂x₃a (2, 1, 3)b (1, -2, 1)c (0, 3, 2)a + b (3, -1, 4)a × b (7, 1, -5)
Skalarprodukt (a · b)
3

Nicht orthogonal

Schnittwinkel (φ)
70.89°

1.2373 rad

Parallelogrammfläche (A)
8.6603 FE

Dreieck: 4.3302 FE

Längen |a| und |b|
|a| = 3.7417 | |b| = 2.4495

Abstand d(a,b) = 3.7417 LE

Kreuzprodukt (Vektorprodukt a × b)
a × b = (7, 1, -5)

Normalenvektor senkrecht auf a und b mit Länge |a × b| = 8.6603.

Spatprodukt [a, b, c] & Volumen
V_Spat = 7 VE | V_Pyramide = 1.1667 VE

Die Vektoren spannen einen echten 3D-Körper auf (linear unabhängig).

Vollständiger mathematischer Lösungsweg & Formeln

Vektor a=(2,1,3),Vektor b=(1,−2,1)\text{Vektor } a = (2, 1, 3), \quad \text{Vektor } b = (1, -2, 1)
Vektoraddition: a+b=(2+1,1+−2,3+1)=(3,−1,4)\text{Vektoraddition: } a + b = (2 + 1, 1 + -2, 3 + 1) = (3, -1, 4)
Vektorsubtraktion: a−b=(2−1,1−−2,3−1)=(1,3,2)\text{Vektorsubtraktion: } a - b = (2 - 1, 1 - -2, 3 - 1) = (1, 3, 2)
La¨nge ∣a∣=22+12+32=14≈3.7417\text{Länge } |a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417
La¨nge ∣b∣=12+−22+12=6≈2.4495\text{Länge } |b| = \sqrt{1^2 + -2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \approx 2.4495
Skalarprodukt: a⋅b=(2⋅1)+(1⋅−2)+(3⋅1)=3\text{Skalarprodukt: } a \cdot b = (2 \cdot 1) + (1 \cdot -2) + (3 \cdot 1) = 3
Kreuzprodukt: a×b=((1⋅1)−(3⋅−2)(3⋅1)−(2⋅1)(2⋅−2)−(1⋅1))=(71−5)\text{Kreuzprodukt: } a \times b = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) - (3 \cdot -2) \\ (3 \cdot 1) - (2 \cdot 1) \\ (2 \cdot -2) - (1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}
Fla¨cheninhalt des Parallelogramms: A=∣a×b∣=72+12+−52=75≈8.6603\text{Flächeninhalt des Parallelogramms: } A = |a \times b| = \sqrt{7^2 + 1^2 + -5^2} = \sqrt{75} \approx 8.6603
Schnittwinkel: cos⁡(φ)=33.7417⋅2.4495  ⟹  φ≈70.89∘\text{Schnittwinkel: } \cos(\varphi) = \frac{3}{3.7417 \cdot 2.4495} \implies \varphi \approx 70.89^\circ
Dritter Vektor c=(0,3,2)\text{Dritter Vektor } c = (0, 3, 2)
Spatprodukt: [a,b,c]=(a×b)⋅c=(7⋅0)+(1⋅3)+(−5⋅2)=−7\text{Spatprodukt: } [a, b, c] = (a \times b) \cdot c = (7 \cdot 0) + (1 \cdot 3) + (-5 \cdot 2) = -7
Spatvolumen (Parallelepiped): VSpat=∣[a,b,c]∣=7\text{Spatvolumen (Parallelepiped): } V_{\text{Spat}} = |[a, b, c]| = 7
Pyramidenvolumen: VPyr=16∣[a,b,c]∣=76≈1.1667\text{Pyramidenvolumen: } V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{6} |[a, b, c]| = \frac{7}{6} \approx 1.1667
Komplanarita¨t: Das Spatprodukt ist −7≠0  ⟹  nicht in einer Ebene (linear unabha¨ngig)\text{Komplanarität: Das Spatprodukt ist } -7 \neq 0 \implies \text{nicht in einer Ebene (linear unabhängig)}

Origen Histórico y el Desafío Resuelto

¿Por qué se desarrolló esta matemática, de dónde proviene y qué problema real resolvió?

📜
Epoche & Zeitalter19th Century (1843 – 1881)
Pioniere: William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside

1. Physical Forces in 3D Space Without Coordinate Clutter

Forces, velocities, and electromagnetic fields possess both magnitude and spatial direction. In the early 19th century, physicists had to write cumbersome scalar equations for each individual coordinate axis (x, y, z).

2. Vector Calculus, Dot & Cross Products

Gibbs and Heaviside extracted modern vector analysis from Hamilton's quaternions. Defining vectors with dot and cross products made 3D mechanical work, angles, and torque calculations extraordinarily streamlined.

3. Aerodynamics, Space Flight & Physics Game Engines

Aircraft flight dynamics, rocket trajectory simulation, and rigid-body collision physics in video games rely entirely on vector math.

„Vector analysis is the natural language of three-dimensional physics.“ — Josiah Willard Gibbs

Aplicaciones reales del cálculo vectorial

Los vectores son el lenguaje fundamental de la física, la informática gráfica, la robótica y la navegación aérea.

Navegación aérea

Vectores de velocidad y trayectoria

Los sistemas de navegación suman vectorialmente el rumbo del avión con el viento para obtener la trayectoria real.

Praxis-Beispiel:

Vector avión (250, 50, 10) + Vector viento (-30, 10, 0) = Trayectoria resultante (220, 60, 10) km/h.

Gráficos 3D y videojuegos

Normales de superficie e iluminación

Los motores gráficos calculan el producto cruz para obtener las normales que determinan la iluminación y reflexión de la luz.

Praxis-Beispiel:

Las aristas u y v de un polígono producen el vector normal n = u × v para renderizado fotorrealista.

Ingeniería civil y estructuras

Descomposición de fuerzas en puentes

Cálculo de fuerzas de tracción y compresión mediante equilibrio vectorial de fuerzas en nodos estructurales.

Praxis-Beispiel:

Las fuerzas de los cables se descomponen en componentes cartesianas: F = F_x + F_y + F_z.

Guía matemática de cálculo vectorial

Un vector representa una magnitud con dirección y sentido. Es una herramienta esencial en álgebra lineal y geometría analítica.

Suma de vectores y módulo (longitud)

La suma se realiza componente a componente. El módulo se calcula mediante la norma euclidiana: |a| = √(a1² + a2² + a3²).

Producto escalar y ortogonalidad

El producto escalar a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 permite calcular ángulos. Si a · b = 0, los vectores son perpendiculares (90°).

Producto vectorial (cruz)

El producto cruz a × b genera un vector tridimensional perpendicular a ambos. Su módulo es el área del paralelogramo.

Producto mixto y volumen

El producto mixto [a, b, c] = (a × b) · c calcula el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Preguntas frecuentes (FAQ) sobre vectores

¿Cuál es la diferencia entre producto escalar y producto cruz?▼

El producto escalar da un número (escalar) para calcular ángulos, mientras que el producto cruz produce un vector 3D perpendicular.

¿Cuándo son dos vectores colineales (paralelos)?▼

Cuando uno es múltiplo escalar del otro o su producto cruz es el vector cero.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?▼

Mediante cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|) aplicando el arcocoseno.

¿Qué significa que tres vectores sean coplanares?▼

Significa que están en el mismo plano, lo cual ocurre si su producto mixto es igual a 0.