Calculadora de Diagrama de Árbol y Tabla 2x2

Calcula experimentos aleatorios en etapas, probabilidades de ramas, probabilidad total, probabilidades condicionales de Bayes y tablas de contingencia.

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Klassische Praxisbeispiele (Presets)

1. Stufe: P(Krank (K))10.0% (0.100)

0%P(Gesund (G)) = 90.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Krank (K))95.0% (0.950)

0%P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 5.0%100%

2. Stufe: P(Test Positiv (+)|Gesund (G))5.0% (0.050)

0%P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 95.0%100%

P(B) - Totale Wk.14.00%0.1400

P(Krank (K) ∩ Test Positiv (+))9.50%0.0950

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) (Bayes)67.86%0.6786

UnabhängigkeitAbhängig

Baumdiagramm (2-Stufig)

Stochastisch abhängig

Vierfeldertafel (Wahrscheinlichkeiten)Summe Zeilen & Spalten = Randwahrscheinlichkeiten

Ereignis	Krank (K)	Gesund (G)	Σ (Gesamt)
Test Positiv (+)	0.09509.50%	0.04504.50%	0.1400P(Test Positiv (+))
Test Negativ (-)	0.00500.50%	0.855085.50%	0.8600P(Test Negativ (-))
Σ (Gesamt)	0.1000P(Krank (K))	0.9000P(Gesund (G))	1.0000 (100%)

📚Schritt-für-Schritt Rechenweg

\text{\textbf{1. Pfadregel (Multiplikationssatz für Pfade):}}

P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.9500 = 0.0950

P(Krank (K) \cap Test Negativ (-)) = P(Krank (K)) \cdot P(Test Negativ (-)|Krank (K)) = 0.1000 \cdot 0.0500 = 0.0050

P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.0500 = 0.0450

P(Gesund (G) \cap Test Negativ (-)) = P(Gesund (G)) \cdot P(Test Negativ (-)|Gesund (G)) = 0.9000 \cdot 0.9500 = 0.8550

\text{\textbf{2. Pfadregel (Totale Wahrscheinlichkeit):}}

P(Test Positiv (+)) = P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) + P(Gesund (G) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 + 0.0450 = 0.1400

P(Test Negativ (-)) = 1 - P(Test Positiv (+)) = 0.8600

\text{\textbf{Satz von Bayes (Bedingte Wahrscheinlichkeit):}}

P(Krank (K)|Test Positiv (+)) = \frac{P(Krank (K) \cap Test Positiv (+))}{P(Test Positiv (+))} = \frac{0.0950}{0.1400} = 0.6786 \; (67.86\%)

\text{\textbf{Stochastische Unabhängigkeit:}}\text{ Da } P(Krank (K) \cap Test Positiv (+)) = 0.0950 \neq P(Krank (K)) \cdot P(Test Positiv (+)) = 0.0140, \text{ sind die Ereignisse } A \text{ und } B \text{ \textbf{stochastisch abhängig}.}

Origen Histórico y el Desafío Resuelto

¿Por qué se desarrolló esta matemática, de dónde proviene y qué problema real resolvió?

📜

Epoche & ZeitalterClassical Probability (1654 – 1763)

Pioniere: Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Thomas Bayes

1. Unfinished Games of Chance & Diagnostic Fallacies

In 1654, Chevalier de Méré asked Pascal: how should the prize money be divided fairly if a dice game is interrupted prematurely? Furthermore, how does one assess diagnostic test accuracy when a disease is exceptionally rare?

2. Tree Diagram Path Rules & Bayes' Theorem

Fermat and Pascal developed multiplication and addition path rules. Thomas Bayes formulated Bayes' theorem for conditional probability, demonstrating how prior beliefs (prior) are updated by new evidence (posterior).

3. Spam Filters, Medical Diagnostics & Forensic DNA

Naive Bayes email spam filters, AI diagnostic assistants in radiology, and legal forensic evidence evaluation rely on Bayesian conditional probability.

„Probability theory is nothing but common sense reduced to calculation.“ — Pierre-Simon Laplace

Aplicaciones Prácticas de Árboles de Probabilidad y Bayes

Descubre cómo los árboles de probabilidad permiten tomar decisiones informadas en medicina, industria y logística.

Medicina y Diagnóstico

Pruebas Médicas Rápidas y Paradoja de Bayes

Cálculo del valor predictivo positivo en poblaciones con baja prevalencia de enfermedades.

Praxis-Beispiel:

Con 98% de precisión y 1% de prevalencia, un resultado positivo solo confirma la enfermedad en un 16%.

Control de Calidad

Árboles de Fallos en Manufactura

Análisis de líneas de producción para calcular tasas globales de defectos e identificar causas.

Praxis-Beispiel:

Determinación de la tasa global de componentes defectuosos en montaje automatizado.

Logística y Transporte

Modelado de Riesgos en Cadena de Suministro

Probabilidades combinadas de retrasos causados por clima o inspecciones aduaneras.

Praxis-Beispiel:

Pronóstico de entregas puntuales en rutas de transporte internacionales.

Guía: Diagramas de Árbol, Reglas de Probabilidad y Bayes

Un diagrama de árbol estructura experimentos aleatorios secuenciales y permite calcular fácilmente probabilidades conjuntas y marginales.

1ª Regla del Camino (Multiplicación)

La probabilidad de una rama es el producto de las probabilidades del camino: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).

2ª Regla del Camino (Probabilidad Total)

Se suman las probabilidades de todos los caminos disjuntos que conducen al evento B: P(B) = P(A ∩ B) + P(no A ∩ B).

Teorema de Bayes

Calcula la probabilidad condicional inversa: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Independencia Estocástica

Dos sucesos son estocásticamente independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Preguntas Frecuentes sobre Diagramas de Árbol

¿Cuál es la diferencia entre extracción con y sin reemplazo?▼

Con reemplazo, las probabilidades permanecen constantes. Sin reemplazo, el número de elementos disminuye modificando las probabilidades condicionales.

¿Cuándo usar una tabla 2x2 frente a un árbol?▼

Las tablas 2x2 son ideales para cruzar dos variables categóricas rápidamente. Los árboles son mejores para procesos cronológicos secuenciales.

¿Por qué es importante el teorema de Bayes en medicina?▼

Porque en enfermedades raras los falsos positivos superan a los verdaderos positivos, reduciendo la certeza real de un test positivo.

¿Qué significa independencia estocástica?▼

Que el suceso A no influye en la probabilidad de que ocurra el suceso B: P(B|A) = P(B).

Wie hängen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (2x2-Tabelle) zusammen?▼

Ein zweistufiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel stellen dieselben stochastischen Zusammenhänge dar. Die Pfade des Baumdiagramms entsprechen den Schnittmengen P(A ∩ B) in den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel. Aus der Vierfeldertafel lassen sich die Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (Satz von Bayes) direkt ablesen und berechnen.