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Calculadora de Triángulos – Teorema del Seno y Coseno

Calcula cualquier triángulo a partir de 3 datos (LLL, LAL, ALA, LLA). Obtén ángulos, lados, alturas, área por Herón, radio de circunferencia inscrita y circunscrita.

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Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Origen Histórico y el Desafío Resuelto

¿Por qué se desarrolló esta matemática, de dónde proviene y qué problema real resolvió?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Aplicaciones Prácticas de la Trigonometría de Triángulos

Aprende cómo el teorema del seno, del coseno y la triangulación se aplican en topografía, navegación y arquitectura.

Topografía y Geodesia

Triangulación y Medición de Terrenos

Determinación de distancias inaccesibles y alturas de montañas mediante líneas base y teodolitos.

Praxis-Beispiel:

Cálculo de la distancia a una cumbre desde dos puntos base con el teorema del seno.

Navegación Aérea y Marítima

Corrección de Rumbo por Viento

Ajuste de trayectorias aéreas considerando la deriva del viento mediante triángulos vectoriales.

Praxis-Beispiel:

Cálculo del ángulo de corrección de rumbo con el teorema del coseno.

Arquitectura e Ingeniería Civil

Estructuras Triangulares y Techos

Cálculo de cargas estáticas y vigas en armaduras triangulares de puentes y cubiertas.

Praxis-Beispiel:

Cálculo de longitudes de vigas en tejados a dos aguas asimétricos.

Guía: Triángulos Generales, Ley del Seno y Coseno

Los triángulos oblicuángulos no tienen un ángulo de 90°. Los teoremas del seno y del coseno permiten determinar todos sus lados y ángulos desconocidos.

Teorema del Seno

Los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a / sen(α) = b / sen(β) = c / sen(γ) = 2R.

Teorema del Coseno

Generalización de Pitágoras: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Área Trigonométrica

Área mediante dos lados y su ángulo incluido: A = ½ · a · b · sen(γ).

Fórmula de Herón

Área conociendo solo los tres lados y semiperímetro s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Preguntas Frecuentes sobre Triángulos

¿Cuándo usar el teorema del seno o del coseno?▼

Usa el coseno con 3 lados (LLL) o 2 lados y ángulo comprendido (LAL). Usa el seno cuando conozcas al menos una pareja lado-ángulo opuesto (ALA, LLA).

¿Qué es la desigualdad triangular?▼

La suma de dos lados siempre debe ser estrictamente mayor que el tercer lado (a + b > c).

¿Qué diferencia hay entre incírculo y circuncírculo?▼

El circuncírculo pasa por los 3 vértices (mediatrices). El incírculo es tangente interior a los 3 lados (bisectrices).

¿Cómo se calculan las alturas de un triángulo?▼

A partir del área A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b y h_c = 2A / c.