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Dreiecksrechner – Sinussatz & Kosinussatz

Berechne beliebige Dreiecke vollständig aus 3 Angaben (SSS, SWS, WSW, SsW). Inklusive aller Winkel, Seiten, Höhen, Flächeninhalt (Heron & Trigonometrie), Inkreis- und Umkreisradius sowie Schritt-für-Schritt Herleitungen.

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Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Historischer Ursprung & Die gelöste Herausforderung

Warum wurde diese Mathematik entwickelt, woher stammt sie und welches reale Problem hat sie gelöst?

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Epoche & ZeitalterHellenismus, Islamische Astronomie & Renaissance (ca. 150 v. Chr. – 1464 n. Chr.)
Pioniere: Hipparchos von Nicäa, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Unerreichbare Berggipfel & Hochsee-Navigation

Wie misst man die Entfernung zu einem feindlichen Schiff auf hoher See oder die Höhe eines unbesteigbaren Berges, ohne mit einem Maßband hinübergehen zu können? Die antike Geometrie scheiterte an unzugänglichen Zielpunkten.

2. Triangulation, Sinussatz & Kosinussatz

Regiomontanus verfasste 1464 das erste umfassende Werk »De Triangulis Omnimodis«. Durch die Trigonometrie reichte die Messung einer einzigen Standlinie am Boden und zweier Winkel, um alle Seiten und Winkel des gesamten Geländes fehlerfrei zu berechnen.

3. Geodäsie, Satellitenvermessung & Robotik

Die weltweite Landkarten-Erstellung (Triangulationsnetze) sowie die Inverse Kinematik von Roboterarmen basieren auf trigonometrischen Dreiecksberechnungen.

„Wer die Trigonometrie beherrscht, vermisst Himmel und Erde, ohne seinen Platz zu verlassen.“ — Regiomontanus

Praxisanwendungen der Dreiecksberechnung & Trigonometrie

Entdecke, wie Sinussatz, Kosinussatz und Triangulation in Vermessungswesen, Navigation und Architektur eingesetzt werden.

Geodäsie & Vermessung

Triangulation & Geländevermessung

Bestimmung unzugänglicher Entfernungen und Berghöhen mittels Standlinien und Winkelmessungen mit Theodoliten.

Praxis-Beispiel:

Berechnung der Entfernung zu einem Berggipfel über zwei bekannte Basispunkte im Tal mittels Sinussatz.

Navigation & Luftfahrt

Koppelnavigation & GPS-Positionsbestimmung

Kurs- und Windversatzberechnungen für Flugzeuge und Schiffe mittels Vektordreiecken und Kosinussatz.

Praxis-Beispiel:

Korrektur des Steuerkurses bei Seitenwind zur Erreichung des exakten Ziel-Flughafens.

Architektur & Bauwesen

Dachkonstruktionen & Fachwerkträger

Stabilitäts- und Kraftberechnungen in statischen Dreiecksverbünden für Brücken und Dachstühle.

Praxis-Beispiel:

Exakte Berechnung der Sparrenlängen und Neigungswinkel bei asymmetrischen Satteldächern.

Leitfaden: Allgemeine Dreiecke, Sinussatz & Kosinussatz

Ein allgemeines Dreieck besitzt im Gegensatz zum rechtwinkligen Dreieck keinen 90°-Winkel. Um alle Seiten und Winkel zu bestimmen, werden der Sinussatz und der Kosinussatz verwendet.

Sinussatz

In jedem Dreieck verhalten sich die Seitenlängen wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R.

Kosinussatz

Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Trigonometrische Flächenformel

Flächenberechnung aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel: A = ½ · a · b · sin(γ) = ½ · b · c · sin(α) = ½ · a · c · sin(β).

Satz des Heron

Fläche aus allen 3 Seiten mit dem halben Umfang s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Häufig gestellte Fragen zur Dreiecksberechnung

Wann verwendet man den Sinussatz und wann den Kosinussatz?▼

Den Kosinussatz verwendet man, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) gegeben sind. Den Sinussatz nutzt man, wenn mindestens ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt ist (WSW, SWW, SsW).

Was besagt die Dreiecksungleichung?▼

In jedem Dreieck muss die Summe zweier beliebiger Seitenlängen immer echt größer sein als die dritte Seite (a + b > c, a + c > b, b + c > a). Andernfalls lässt sich kein geschlossenes Dreieck konstruieren.

Was ist der Unterschied zwischen Inkreis und Umkreis?▼

Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks (Mittelpunkt: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten). Der Inkreis berührt alle drei Dreiecksseiten von innen (Mittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden).

Wie berechnet man die Höhen eines allgemeinen Dreiecks?▼

Die Höhen berechnen sich aus der Fläche A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b und h_c = 2A / c.