Binomialverteilung Rechner & Bernoulli-Histogramm
Berechne Einzel- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung B(n; p) mit exakten Zwischenschritten. Inklusive interaktivem Histogramm, Gaußscher Normalverteilungs-Glockenkurve, Sigma-Intervallen und didaktischem Trainer.
⚙️Verteilungsparameter n und p festlegen
Passe Versuchszahl n und Trefferwahrscheinlichkeit p flexibel an.
📝Ausführlicher Rechenweg & Formelherleitung
Bei $n = 20$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,50$ ($q = 1 - p = 0,50$):
Die Formel für genau $k$ Treffer lautet $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$:
Da $\sigma = 2,24 \le 3$, ist die Verteilung zu schmal für eine stetige Glockenkurven-Approximation.
Historischer Ursprung & Die gelöste Herausforderung
Warum wurde diese Mathematik entwickelt, woher stammt sie und welches reale Problem hat sie gelöst?
1. Qualitätskontrolle bei Münzprägungen & Glücksspielserien
Fürstliche Münzprägeanstalten mussten garantieren, dass der Feingehalt geschlagener Münzen innerhalb enger Toleranzen lag. Niemand wusste, wie wahrscheinlich es ist, bei 100 Stichproben genau k fehlerhafte Exemplare zu ziehen.
2. Bernoulli-Ketten & Die Binomialformel
In seinem posthum erschienenen Meisterwerk »Ars Conjectandi« bewies Jakob Bernoulli die Formel P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) und das Gesetz der großen Zahlen: Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit um die theoretische Wahrscheinlichkeit.
3. Industrielle Qualitätskontrolle, Wahlprognosen & A/B-Testing
A/B-Tests auf Websites, Fehlerquoten in der Chipfertigung und repräsentative Wählerbefragungen basieren direkt auf der Binomialverteilung.
Praxisnutzen & Reale Anwendungsfälle
Warum lernen wir das? So wird diese Mathematik in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft und Alltag praktisch angewendet:
Ausschuss- & Stichprobenprüfung
Produktionsbetriebe überwachen Toleranzen und maximale Fehlerquoten durch statistische Annahmestichproben.
Prüfung von 100 Schrauben bei 2 % Ausschussquote auf höchstens 3 fehlerhafte Teile.
Wahlprognosen & Sonntagsfragen
Statistiker schätzen Fehlertoleranzen und Konfidenzintervalle repräsentativer Wählerstichproben ab.
Hochrechnung von Wähleranteilen bei n = 1.000 Befragten mit 95 % Sicherheitsintervall.
Klinische Wirksamkeitsstudien
Berechnung von Ansprechraten und Heilerfolgen bei Patientenstudien mit Kontrollgruppen.
Wahrscheinlichkeit, dass ein Medikament bei mindestens 80 von 100 Patienten wirkt.
Mathematische Grundlagen: Binomialverteilung & Bernoulli-Experimente
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen (Treffer mit Wahrscheinlichkeit p, Niete mit Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 - p). Wird dieser Versuch n-mal unabhängig voneinander wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnet sich über die Bernoulli-Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Wichtige Kennwerte sind der Erwartungswert μ = n · p, die Varianz Var(X) = n · p · (1-p) und die Standardabweichung σ = √(n · p · (1-p)). Gilt die Laplace-Bedingung σ > 3, kann die diskrete Verteilung sehr gut durch die stetige Gaußsche Normalverteilung angenähert werden (Satz von Moivre-Laplace).
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Binomialverteilung
Wann liegt eine Binomialverteilung vor?
Wenn ein Zufallsexperiment genau 2 Ausgänge hat, die Trefferwahrscheinlichkeit p bei jedem Durchgang konstant bleibt (Ziehen mit Zurücklegen) und alle n Versuche voneinander unabhängig sind.
Wie berechnet man mindestens k Treffer P(X ≥ k)?
Über das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Besonders bei mindestens 1 Treffer gilt die Kurzform P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)^n.
Was bedeuten die Sigma-Umgebungen?
Sie geben Intervalle um den Erwartungswert μ an: Im 1σ-Intervall liegen ca. 68,3 % aller Treffer, im 2σ-Intervall ca. 95,4 % und im 3σ-Intervall ca. 99,7 % der Wahrscheinlichkeitsmasse.