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Calcolatore Triangolo – Teorema dei Seni e Coseni

Risolvi qualunque triangolo generico da 3 dati (LLL, LAL, ALA, LLA). Calcola angoli, lati, altezze, area con Erone, raggio del cerchio inscritto e circoscritto.

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Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Origine Storica e Sfida Risolta

Perché è stata sviluppata questa matematica, da dove proviene e quale problema reale ha risolto?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Applicazioni Reali della Trigonometria dei Triangoli

Scopri come il teorema dei seni, del coseno e la triangolazione si applicano in topografia, navigazione e ingegneria civile.

Topografia e Geodesia

Triangolazione e Rilievo del Territorio

Misura di vette montuose e distanze inaccessibili tramite basi a terra e teodoliti.

Praxis-Beispiel:

Calcolo della distanza di un picco montuoso mediante il teorema dei seni.

Navigazione Aerea e Marittima

Correzione Rotta per Vento Laterale

Correzione della deriva dell’aeromobile con triangoli vettoriali e teorema del coseno.

Praxis-Beispiel:

Determinazione della prua effettiva e della velocità al suolo con il teorema di Carnot.

Architettura e Carpenteria

Travature Reticolari e Tetti a Falde

Calcolo delle sollecitazioni e geometrie di travi in tetti inclinati e ponti reticolari.

Praxis-Beispiel:

Calcolo esatto delle lunghezze dei puntoni per tetti asimmetrici.

Guida: Triangoli Qualsiasi, Teorema dei Seni e Coseni

I triangoli generici non hanno angoli retti. Il teorema dei seni e il teorema del coseno (Carnot) permettono di risolverli in modo completo ed esatto.

Teorema dei Seni

I lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti: a / sen(α) = b / sen(β) = c / sen(γ) = 2R.

Teorema del Coseno (Carnot)

Generalizzazione di Pitagora per triangoli generici: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Area Trigonometrica

Area conoscendo due lati e l’angolo compreso: A = ½ · a · b · sen(γ).

Formula di Erone

Area conoscendo solo i tre lati con semiperimetro s = (a+b+c)/2: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Domande Frequenti sui Triangoli

Quando usare il teorema dei seni o dei coseni?▼

Usa il coseno con 3 lati (LLL) o 2 lati e angolo compreso (LAL). Usa il seno quando conosci almeno una coppia lato-angolo opposto (ALA, LLA).

Cos’è la disuguaglianza triangolare?▼

La somma delle lunghezze di due lati qualsiasi deve essere sempre maggiore della lunghezza del terzo lato (a + b > c).

Qual è la differenza tra cerchio inscritto e circoscritto?▼

Il cerchio circoscritto passa per i 3 vertici (assi dei segmenti). Il cerchio inscritto è tangente internamente ai 3 lati (bisettrici).

Come si calcolano le altezze del triangolo?▼

Dall’area A: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b e h_c = 2A / c.