🐼
ToolPanda.appAkıllı Hesaplayıcılar ve Dönüştürücüler

Üçgen Hesaplayıcı – Sinüs ve Kosinüs Teoremi

3 veriyle (KKK, KAK, AKA, KKA) herhangi bir genel üçgeni tamamen çözün. Açıları, kenarları, yükseklikleri, Heron alanını, iç ve çevrel çember yarıçapını adım adım hesaplayın.

WhatsAppTelegram
Dreiecks-Beispiele (Presets)

Eingabewerte für SSS

Fläche A24.00 cm²
Umfang U24.00 cm
Inkreis r / Umkreis Rr=2.00 | R=5.00
Winkel (α / β / γ)36.9° / 53.1° / 90.0°

Dreiecks-Visualisierung (2D)

c = 10.0a = 6.0b = 8.0A (α=36.9°)B (β=53.1°)C (γ=90.0°)
Winkel-Typ: rightSeiten-Typ: scaleneFläche: 24.00 cm²Umfang: 24.00 cm

📐Schritt-für-Schritt Herleitung (Sinus- & Kosinussatz)

Gegeben: a=6,b=8,c=10 (SSS-Satz)\text{\textbf{Gegeben: }} a = 6, b = 8, c = 10 \text{ (SSS-Satz)}
1. Winkel α u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{1. Winkel }} \alpha \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+102−622⋅8⋅10=0.8000  ⟹  α=36.87∘\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = 0.8000 \implies \alpha = 36.87^\circ
2. Winkel β u¨ber den Kosinussatz:\text{\textbf{2. Winkel }} \beta \text{ über den Kosinussatz:}
cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+102−822⋅6⋅10=0.6000  ⟹  β=53.13∘\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = 0.6000 \implies \beta = 53.13^\circ
3. Winkel γ u¨ber die Winkelsumme: γ=180∘−α−β=90.00∘\text{\textbf{3. Winkel }} \gamma \text{ über die Winkelsumme: } \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90.00^\circ
4. Fla¨cheninhalt und Umfang:\text{\textbf{4. Flächeninhalt und Umfang:}}
U=a+b+c=6.00+8.00+10.00=24.0000U = a + b + c = 6.00 + 8.00 + 10.00 = 24.0000
A=s(s−a)(s−b)(s−c)=24.0000(mit s=U2=12.00)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 24.0000 \quad (\text{mit } s = \frac{U}{2} = 12.00)
Ho¨hen: ha=8.0000,  hb=6.0000,  hc=4.8000\text{Höhen: } h_a = 8.0000, \; h_b = 6.0000, \; h_c = 4.8000
Radien: Inkreis r=As=2.0000,  Umkreis R=a2sin⁡(α)=5.0000\text{Radien: Inkreis } r = \frac{A}{s} = 2.0000, \; \text{Umkreis } R = \frac{a}{2\sin(\alpha)} = 5.0000

Tarihsel Köken ve Çözülen Gerçek Problem

Bu matematik neden geliştirildi, nereden geliyor ve hangi gerçek hayat problemini çözdü?

📜
Epoche & ZeitalterHellenistic Era & Islamic Astronomy (c. 150 BCE – 1464 CE)
Pioniere: Hipparchus of Nicaea, Al-Battani, Regiomontanus (Johannes Müller)

1. Inaccessible Peaks & Open Sea Navigation

How do you determine the distance to an enemy warship at sea or the elevation of an unclimbable mountain without physically pacing the distance? Classical geometry failed when target points were unreachable.

2. Triangulation, Law of Sines & Law of Cosines

Regiomontanus published the foundational work "De Triangulis Omnimodis" in 1464. Trigonometry proved that measuring one baseline on the ground and two angles sufficed to calculate all sides and angles of any triangle.

3. Geodesy, Satellite Cartography & Robotics

Global topography mapping and inverse kinematics in multi-joint robotic arms are solved using trigonometric triangle solvers.

„He who masters trigonometry can measure heaven and earth without leaving his seat.“ — Regiomontanus

Üçgen Trigonometrisinin Gerçek Hayattaki Uygulamaları

Sinüs teoremi, kosinüs teoremi ve nirengi yöntemlerinin haritacılık, havacılık ve mimarideki kullanımını keşfedin.

Haritacılık ve Jeodezi

Nirengi ve Arazi Ölçümü

Ulaşılamayan dağ doruklarının ve nehir mesafelerinin teodolit ve taban hatlarıyla ölçülmesi.

Praxis-Beispiel:

İki taban noktasından bir tepeye olan mesafenin sinüs teoremiyle hesaplanması.

Havacılık ve Deniz Seyrüseferi

Rüzgar Sapması ve Rota Düzeltme

Uçakların yan rüzgarda sürüklenmesinin vektör üçgenleri ve kosinüs teoremiyle düzeltilmesi.

Praxis-Beispiel:

Gerçek rota başı ve yer hızının kosinüs teoremiyle tespiti.

Mimarlık ve Yapı Mühendisliği

Kafes Kirişler ve Çatı Makasları

Köprü ve çatı makaslarındaki üçgensel statik yük dağılımı hesaplamaları.

Praxis-Beispiel:

Asimetrik beşik çatılarda mertek boylarının tam olarak boyutlandırılması.

Rehber: Genel Üçgenler, Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Genel üçgenlerde 90° dik açı bulunmaz. Sinüs ve kosinüs teoremleri yardımıyla bilinmeyen tüm kenar ve açılar eksiksiz çözülebilir.

Sinüs Teoremi

Kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R.

Kosinüs Teoremi

Pisagor teoreminin genel üçgenlere genişletilmiş halidir: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ).

Trigonometrik Alan Formülü

İki kenar ve aradaki açı ile alan hesabı: A = ½ · a · b · sin(γ).

Heron Formülü

Yalnızca 3 kenar ve yarı çevre s = (a+b+c)/2 ile alan hesabı: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)).

Üçgen Hesaplama Hakkında Sıkça Sorulan Sorular

Ne zaman sinüs, ne zaman kosinüs teoremi kullanılır?▼

3 kenar (KKK) veya 2 kenar ve aradaki açı (KAK) verildiğinde kosinüs teoremi; en az bir kenar-karşı açı çifti bilindiğinde (AKA, KKA) sinüs teoremi kullanılır.

Üçgen eşitsizliği kuralı nedir?▼

Herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı daima üçüncü kenardan kesinlikle büyük olmalıdır (a + b > c).

İç teğet çember ile çevrel çember arasındaki fark nedir?▼

Çevrel çember 3 köşeden geçer (kenar orta dikmeler). İç teğet çember ise 3 kenara içeriden teğettir (açıortaylar).

Üçgenin yükseklikleri nasıl hesaplanır?▼

Alan A üzerinden: h_a = 2A / a, h_b = 2A / b ve h_c = 2A / c.